Enunciado

Depois de nivelar um lote, um construtor coloca quatro estacas para indicar os cantos da base para uma casa. Para prover uma base nivelada firme, o construtor coloca um mínimo de 75 mm de brita abaixo da base. Determine o volume de brita necessário e a coordenada x do centroide do volume de brita. (Dica: o fundo da brita é um plano inclinado, que pode ser representado pela equação y = a + b x + c z .)

Passo 1

As constantes para a equação do plano da brita podem ser encontradas fazendo:

x = 0 ; z = 0 → y = - 75   m m

E, substituindo esses valores na equação, temos:

a = - 75   m m = - 0,075   m

Agora, para:

x = 9   m ; z = 0 → y = - 125   m m

E, substituindo esses valores na equação, temos:

- 0,125 = - 0,075 + b 9 → b = - 0,00555   m

E, agora para:

x = 0 ; z = 15   m → y = - 150   m m

E, substituindo esses valores na equação, temos:

- 0,150 = - 0,075 - 0,00555 0 + c 15 → c = - 0,005   m

Então, a equação será:

y = - 0,075 - 0,00555 x - 0,005 z

Passo 2

Dessa forma, sabemos relacionar o centro de massa com o volume através da seguinte equação:

x - V = ∫ x - E L d V

E, o elemento diferencial de volume será dado por:

d V = | y | d x d z

Então, substituindo o valor de y encontrado no passo 1, temos:

d V = 0,075 + 0,00555 x + 0,005 z d x d z

E, como nesse caso, temos x - E L = x , a primeira equação do passo 2 se torna:

x - V = ∫ x - E L d V

Resolvendo primeiro a parte referente ao volume, temos:

V = ∫ d V = ∫ 0 15 ∫ 0 9 0,075 + 0,00555 x + 0,005 z d x d z

Resolvendo a integral em x , temos:

V = ∫ 0 15 0,075 x + 1 2 0,00555 x 2 + 0,005 x z 0 9 d z

Substituindo os limites de integração:

V = ∫ 0 15 0,675 + 0,225 + 0,045 z d z

E, resolvendo a integral em z :

V = 0,9 z + 0,045 2 z 2 0 15

Substituindo os limites de integração:

V = 18,56   m 3

Passo 3

Agora vamos calcular a segunda parcela da primeira equação do passo 2:

∫ x - E L d V = ∫ 0 15 ∫ 0 9 x 0,075 + 0,00555 x + 0,005 z d x d z

∫ x - E L d V = ∫ 0 15 ∫ 0 9 0,075 x + 0,00555 x 2 + 0,005 z x d x d z

Resolvendo a integral em x , temos:

∫ x - E L d V = ∫ 0 15 1 2 0,075 x 2 + 1 3 0,00555 x 3 + 1 2 0,005 z x 2 0 9 d z

Substituindo os limites de integração:

∫ x - E L d V = ∫ 0 15 ( 3,04 + 1,35 + 0,202 z ) d z

Agora, integrando em z :

∫ x - E L d V = 4,39 z + 1 2 0,202 z 2 0 15

E, substituindo os limites de integração, temos:

∫ x - E L d V = 88,58   m 4

Agora, substituindo esses valores na primeira equação do passo 2, temos:

x - V = ∫ x - E L d V → x - 18,56 = 88,58

Isolando x - temos:

x - = 4,77   m

Resposta

V = 18,56   m 3

x - = 4,77   m

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