Enunciado

Determine o centróide do volume obtido pela rotação da área sombreada da figura sobre o eixo x .

Passo 1

Tá legal, vamos lá! A primeira coisa que devemos notar é que como o sólido vai rotacionar sobre o eixo x com aquela área, formando um parabolóide, temos que y - = 0 e z - = 0 . Então, do enunciado, temos que a equação da curva é:

y = k x 1 3

Precisamos descobrir o valor de k em função dos parâmetros da curva, então para x = h temos o raio máximo do parabolóide que chamaremos de a , então a equação se torna:

a = k h 1 / 3 → k = a h 1 / 3

Agora, como já vimos nessa seção do livro, o elemento diferencial de volume de um disco qualquer de raio r e espessura d x é dado por:

d V = π r 2 d x

Agora, precisamos encontrar a relação entre o raio do cone e a coordenada x , substituindo o valor encontrado de k e chamando y de r temos:

r = a h 1 / 3 x 1 / 3

Passo 2

Então podemos reescrever a equação para o volume diferencial como:

d V = π r 2 d x → d V = π a 2 h 2 / 3 x 2 / 3 d x

Então, aplicando a integral dos dois lados dessa expressão, temos:

∫ d V = ∫ π a 2 h 2 / 3 x 2 / 3 d x

Resolvendo as integrais, temos:

V = ∫ 0 h π a 2 h 2 / 3 x 2 / 3 d x = π a 2 h 2 / 3 3 5 x 5 / 3 0 h

Substituindo os limites de integração:

V = π a 2 h 2 / 3 3 5 h 5 / 3 - 0

Então, simplificando a expressão, temos o volume para a figura gerada:

V = 3 5 π a 2 h

Passo 3

Agora podemos usar a expressão que relaciona o centro de massa em x com o volume do sólido em estudo, lembrando que nesse caso a coordenada x - E L = x :

x - V = ∫ x - E L d V

Então, substituindo o valor de x - E L e d V :

x - V = ∫ 0 h x π a 2 h 2 / 3 x 2 / 3 d x = ∫ 0 h π a 2 h 2 / 3 x 5 / 3 d x

Resolvendo a integral, temos:

x - V = π a 2 h 2 / 3 3 8 x 8 / 3 0 h

Substituindo os limites de integração, temos:

x - V = π a 2 h 2 / 3 3 8 h 8 / 3 - 0

Então, simplificando a expressão e substituindo o valor de V encontrado no passo 1:

x - 3 5 π a 2 h = 3 8 π a 2 h 2

E, isolando x - da equação, temos:

x - = 5 8 h

Resposta

x - = 5 8 h

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