Enunciado

Um diagrama tensão-deformação por cisalhamento para um eixo maciço de 50 mm de diâmetro pode ser aproximado como mostra a figura. Determine o torque exigido para provocar uma tensão de cisalhamento máxima de 125 MPa no eixo. Se o eixo tiver 3 m de comprimento, qual será o ângulo de torção correspondente?

Passo 1

Dados da questão: r = 25   m m , L = 3   m . Nesse material, tanto a zona elástica quanto a plástica possuem comportamento linear.

A questão afirma que a tensão na superfície do eixo é τ r = 125   M P a , o que implica que sua deformação é γ r = 0,01 0 0   r a d

O que a questão pede:

  • O valor do torque aplicado T =   ?
  • O ângulo de torção plástico ϕ p =   ?

Como o comportamento deste material é diferente do normal, vamos utilizar a equação 5.23 para determinar o torque.

T = 2 π ∫ 0 ρ τ ⋅ ρ 2 d ρ  

Para aplicar a integração, precisaremos definir uma ou mais equações que representem o comportamento da tensão em função do raio.

Para relacionar a deformação com o raio, vamos considerar que a deformação é constante ao longo da seção transversal.

Para determinar o ângulo de torção basta aplicar a equação 5.25 para o valor de deformação máxima.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber qual região o tamanho da zona elástica e da zona plástica. Faremos isso definindo o tamanho do raio elástico ρ e .

Por definição, no raio elástico a deformação é igual a deformação de escoamento. Podemos aplicar proporção para determinar o raio

ρ e γ e = r γ r

ρ e = γ e ⋅ r γ r

ρ e = 0,0025   r a d ⋅ 25   m m 0,0100   r a d

ρ e = 6,25   m m

ρ e = 0,00625   m m

Passo 3

Uma vez que consideramos que a deformação é linear ao longo da seção transversal, podemos garantir que a razão entre a deformação e o raio é contante:

γ ρ = γ e ρ e = γ r r = c o n s t a n t e

A expressão pode ser manipulada como:

γ = γ e ρ e ρ

γ = γ r r ρ

Passo 4

Vamos determinar uma equação que represente o segmento OE

Por proporção, temos:

τ γ = τ e γ e

Isolando a tensão:

τ = τ e γ e γ

Substituíndo γ = γ e ρ e ρ , como definido no passo anterior

τ = τ e γ e ⋅ γ e ρ e ρ

Chegamos numa expressão que relaciona a tensão com o raio.

τ = τ e ρ e ρ

Substituíndo os valores:

τ = 50 0,00625 ⋅ ρ

Chegamos na equação:

τ = 8000 ⋅ ρ

Onde o raio ρ é dado em metros, e a τ tensão é dada em M P a . Vamos manter essas unidades de medida para evitar trabalhar com números muito grandes ou com potências de dez

Note que essa função é válida apenas elástico: 0 ≤ ρ ≤ ρ e

Passo 5

Vamos determinar uma equação que represente o segmento ER

Por proporção, temos:

τ - τ e γ - γ e = τ r - τ e γ r - γ e

Isolando a tensão:

τ - τ e = τ r - τ e γ r - γ e γ - γ e

τ = τ r - τ e γ r - γ e γ - γ e + τ e

Substituíndo γ = γ e ρ e ρ , como definido no Passo 2

τ = τ r - τ e γ r - γ e γ e ρ e ρ - γ e + τ e

Colocando γ e ρ e em evidência chegamos numa expressão que relaciona a tensão com o raio:

τ = τ r - τ e γ r - γ e ⋅ γ e ρ e ⋅ ρ - ρ e + τ e

Substituíndo os valores:

τ = 125 - 50 0,0100 - 0,0025 ⋅ 0,0025 0,00625 ⋅ ρ - 0,00625 + 50

Chegamos na equação:

τ = 4000 ρ + 25

Onde o raio ρ é dado em metros, e a τ tensão é dada em M P a . Vamos manter essas unidades de medida para evitar trabalhar com números muito grandes ou com potências de dez

Note que essa função é válida apenas no intervalo plástico: ρ e ≤ ρ ≤ r

Passo 6

Em posse das funções que representam a tensão, podemos aplicar a Equação 5.23 para determinar a tensão:

T = 2 π ∫ 0 r τ ⋅ ρ 2 d ρ

Subtituíndo as funções de acordo com os respectivos limites

T = 2 π ∫ 0 ρ e ( 8000 ⋅ ρ ) ⋅ ρ 2 d ρ + 2 π ∫ ρ e r ( 4000 ⋅ ρ + 25 ) ⋅ ρ 2 d ρ

Vamos manipular a equação para simplificar ao máximo as integrais:

T = 2 π ∫ 0 ρ e 8000 ⋅ ρ 3 d ρ + 2 π ∫ ρ e r 4000 ⋅ ρ 3 d ρ + 2 π ∫ ρ e r 25 ⋅ ρ 2 d ρ

T = 16000 π ∫ 0 ρ e ρ 3 d ρ + 8000 π ∫ ρ e r ρ 3 d ρ + 50 π ∫ ρ e r ρ 2 d ρ

Aplicando as integrações:

T = 16000 π ⋅ ρ 4 4 0 ρ e + 8000 π ⋅ ρ 4 4 ρ e r + 50 π ⋅ ρ 3 3 ρ e r

T = 4000 π ⋅ ρ e + 2000 π ⋅ ( r 4 - ρ e 4 ) + 50 3 π ⋅ ( r 3 - ρ e 3 )

Substituíndo os valores:

T = 4000 π ⋅ 0,00 6 25 4 + 2000 π ⋅ ( 0,0 25 4 - 0,00 6 25 4 ) + 50 3 π ⋅ ( 0,0 25 3 - 0,00 6 25 3 )

Obtemos um valor em mega newtons vezes metro, pois as tensões utilizadas nos cálculos anteriores estavam em mega pascal.

T = 0,00 32693 ⋅ M N ⋅ m

T = 3269,3 ⋅ N ⋅ m

Passo 7

Aplicando a Equação 5.25 encontramos o ângulo de torção plástica

ϕ m á x = γ m á x ⋅ L r

ϕ m á x = 0,010   r a d ⋅ 3   m 0,025   m

ϕ m á x = 1,2   r a d

ϕ m a x = 68,76 º

Resposta

T = 3269,3 ⋅ N ⋅ m

ϕ m a x = 68,76 º

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