Enunciado

Para o disco de lixamento plano de raio a , a pressão p desenvolvida entre o disco e a superfície lixada decresce linearmente com r , desde um valor p 0 no centro aé p 0 / 2 com r = a . Se o coeficiente de atrito é μ , obtenha a expressão para o torque M necessário para girar o eixo sob uma força axial L .

Passo 1

Para cada ponto de área d A , raio r e angulação θ , como mostrado na figura, é feita no disco pela superfície lixada uma força de atrito d F :

Essa pequena força infinitesimal de atrito é igual à força normal d P aplicada vezes o coeficiente de atrito μ . Mas sabemos que a força normal é a pressão vezes a área:

d F = μ   d P = μ p   d A

A área infinitesimal pode ser considerada como um comprimento d r vezes uma largura dada por um pequeno arco d l = r   d θ , então:

d A = r d r   d θ

Finalmente, devemos calcular o momento infinitesimal d M que cada força de atrito d F causa em torno do centro:

d M = r   d F = r ⋅ μ p   d A = μ p r ⋅ r d r   d θ = μ p r 2 d r   d θ

Devemos então para obter o momento total integrar essa expressão, com θ   variando de 0 a 2 π e r variando de 0 a a .

Passo 2

Então temos que calcular a integral dupla:

M = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 a μ p r 2   d r

A parte da esquerda é calculada diretamente:

∫ 0 2 π d θ = 2 π ⇒ M = 2 π μ ∫ 0 a p r 2   d r

A expressão de p em função de r é uma reta decrescente com p 0 = p 0 . Vamos calcular então a expressão de p :

p r = p 0 - k r

p a = p 0 2 = p 0 - k a ⇒ p 0 2 - p 0 = - p 0 2 = - k a ⇒ k = p 0 2 a

⇒ p r = p 0 - p 0 2 a r

Então calculamos a integral:

M = 2 π μ ∫ 0 a p r 2   d r = 2 π μ ∫ 0 a p 0 - p 0 2 a r r 2   d r

= 2 π μ ∫ 0 a p 0 r 2 - p 0 2 a r 3   d r = 2 π μ p 0 3 r 3 - p 0 8 a r 4 0 a

= 2 π μ p 0 a 3 3 - p 0 a 3 8 = 2 π μ 8 p 0 a 3 24 - 3 p 0 a 3 24 = 5 π μ p 0 a 3 12

Passo 3

Temos o momento total, mas precisamos do valor de p 0 em função da força L aplicada. A força total L será igual a:

L = ∫ p   d A

Já calculamos que d A = r d r   d θ e que p = p 0 - p 0 2 a r , então:

L = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 a p 0 - p 0 2 a r r d r

Então calculamos a integral:

∫ 0 2 π d θ ∫ 0 a p 0 - p 0 2 a r r d r = 2 π ∫ 0 a p 0 r - p 0 2 a r 2 r d r

= 2 π p 0 2 r 2 - p 0 6 a r 3 0 a = 2 π p 0 a 2 2 - p 0 a 2 6 = 2 π 3 p 0 a 2 6 - p 0 a 2 6

⇒ L = 2 π p 0 a 2 3

Então temos p 0 em função de L :

p 0 = 3 L 2 π p 0 a 2

Substituindo então na fórmula de M :

M = 5 π μ p 0 a 3 12 = 5 π μ a 3 12 ⋅ 3 L 2 π p 0 a 2 = 5 μ L a 8

Resposta

M = 5 μ L a 8

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