Enunciado

O dispositivo robótico do Prob. 2/162 agora gira em torno de um eixo vertical fixo enquanto seu braço é prolongado e elevado. Num determinado instante, ϕ = 30 ° , ϕ ˙ = 10   g r a u s / s = c o n s t a n t e , l = 0,5   m , l ˙ = 0,2   m / s , l ¨ = - 0,3   m / s 2 e Ω = 20   g r a u s / s = c o n s t a n t e . Determine os módulos da velocidade v e da aceleração a da peça P .

Passo 1

Pensando em coordenadas esféricas, o enunciado nos deu os seguintes dados:

R = 0,75 + l = 0,75 + 0,5 = 1,25   m

R ˙ = l ˙ = 0,2   m / s

R ¨ = l ¨ = - 0,3   m / s 2

ϕ = 30 °

ϕ ˙ = 10 π 180 = 0,1745   r a d / s

ϕ ¨ = 0

θ ˙ = Ω = 20 π 180 = 0,34 9   r a d / s

θ ¨ = 0

Agora lembre-se de que as componentes da velocidade em coordenadas esféricas são dadas assim:

v R = R ˙                     v θ = R θ ˙ cos ⁡ ϕ                     v ϕ = R ϕ ˙

Então:

v R = 0,2   m / s

v θ = 1,25 0,349 cos ⁡ 30 ° = 0,378   m / s

v ϕ = 1,25 0,1745 = 0,218   m / s

Logo, o módulo da velocidade será:

v = v R 2 + v θ 2 + v ϕ 2 = 0,2 2 + 0,378 2 + 0,218 2

v = 0,480   m / s

Passo 2

Show! Agora vamos lembrar que as componentes da aceleração em coordenadas esféricas são dadas assim:

a R = R ¨ - R ϕ ˙ 2 - R θ ˙ 2 cos 2 ⁡ ϕ

a θ = cos ⁡ ϕ R d d t R 2 θ ˙ - 2 R θ ˙ ϕ ˙   s e n   ϕ

a ϕ = 1 R d d t R 2 ϕ ˙ + R θ ˙ 2   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ  

Começamos calculando a R :

a R = - 0,3 - 1,25 0,1745 2 - 1,25 0,349 2 cos 2 ⁡ 30 °

a R = - 0,452   m / s 2

Para calcular a θ , usamos a regra do produto para a derivada:

a θ = cos ⁡ ϕ R 2 R R ˙ θ ˙ + R 2 θ ¨ - 2 R θ ˙ ϕ ˙   s e n   ϕ

a θ = 2 R ˙ θ ˙ cos ⁡ ϕ + R θ ¨ cos ⁡ ϕ - 2 R θ ˙ ϕ ˙   s e n   ϕ

a θ = 2 0,2 0,349 cos ⁡ 30 ° + 1,25 0 cos ⁡ 30 ° - 2 1,25 0,349 0,1745   s e n   30 °

a θ = 0,0448   m / s 2

Passo 3

Para calcular a ϕ , utilizamos novamente a regra do produto para a derivada presente na expressão:

a ϕ = 1 R d d t R 2 ϕ ˙ + R θ ˙ 2   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ  

a ϕ = 1 R 2 R R ˙ ϕ ˙ + R 2 ϕ ¨ + R θ ˙ 2   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ

a ϕ = 2 R ˙ ϕ ˙ + R ϕ ¨ + R θ ˙ 2   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ

a ϕ = 2 0,2 0,1745 + 1,25 0 + 1,25 0,349 2   s e n   30 ° cos ⁡ 30 °

a ϕ = 0,136   m / s 2

Portanto, o módulo da aceleração será:

a = a R 2 + a θ 2 + a ϕ 2 = - 0,452 2 + 0,0448 2 + 0,136 2

a = 0,474   m / s 2

Resposta

v = 0,480   m / s

a = 0,474   m / s 2

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