Enunciado

O dispositivo robótico do Prob. 6/60 é reapresentado aqui. O elemento A B está girando em torno da articulação A com uma velocidade angular no sentido anti-horário de 2   r a d / s , e essa velocidade está aumentando a 4   r a d / s 2 . Determine o momento M B exercido pelo braço A B sobre o braço B C se a articulação B é mantida travada. A massa do braço B C é de 4   k g , e o braço pode ser considerado como uma haste esbelta uniforme.

Passo 1

Vamos começar escrevendo uma equação de momentos em relação ao ponto B , dessa forma o momento M B que queremos calcular vai aparecer na equação:

∑ M B = I - α + ∑ m a - d

E os únicos momentos em relação ao ponto B são o momento M B que queremos calcular e o momento da força peso:

∑ M B = M B - m g 0,350 2 sen ⁡ 45 °

∑ M B = M B - 4 9,81 0,175 sen ⁡ 45 ° = M B - 4,856

E o primeiro termo do lado direito é fácil de escrever, pois temos o momento de inércia de uma barra esbelta em relação a um eixo na sua extremidade:

I - = 1 12 m l 2 = 1 12 4 0,350 2 = 0,0408   k g   m 2

E a aceleração angular já foi dada, então:

I - α = 0,0408 4 = 0,163   N m

Para escrever o último termo já teremos um pouco mais de trabalho. Pois vamos precisar conhecer cada componente da aceleração do centro de massa da barra a B , então teremos que calculá-lo em forma vetorial.

Passo 2

Queremos a aceleração a → 2 do centro de massa da barra A B , que tem uma componente tangencial e uma centrípeta:

a → = α → × r → c m - ω 2 r → c m

Então primeiro vamos ter que escrever o vetor posição do centro de massa G 2   da barra B C em relação a uma origem que vamos colocar no ponto A .

Olhando o desenho já podemos escrever as componentes desse vetor:

r → c m = 0,7 + 0,350 2 cos ⁡ 45 °   i ^ + 0,7 - 0,350 2 sen ⁡ 45 ° j ^

r → c m = 0,619 i ^ + 0,371 j ^

E os vetores α → e ω → apontam apenas na direção k ^ , saindo do plano da página, e os seus módulos já foram dados no enunciado:

α → = 4 k ^

ω → = 2 k ^

Agora vamos resolver esse produto vetorial, escrevendo como um determinante:

a → = α → × r → c m - ω 2 r → c m

a → = i ^ j ^ k ^ 0 0 4 0,619 0,371 0 - 2 2 0,619 i ^ + 0,371 j ^

a → = 4 0,619 j ^ - 4 0,371 i ^ - 4 0,619 i ^ - 4 0,371 j ^

a → = - 3,96 i ^ + 0,992 j ^

Passo 3

Agora já podemos escrever o último termo daquela equação de cima, em que cada d é a distância perpendicular daquela componente até o nosso ponto de referência B :

∑ m a - d = 4 a x 0,175 sen ⁡ 45 ° + 4 a y 0,175 cos ⁡ 45 °

∑ m a - d = 4 - 3,96 0,175 sen ⁡ 45 ° + 4 0,992 0,175 cos ⁡ 45 °

∑ m a - d = - 1,469   N m

Agora vamos substituir tudo na nossa equação, inclusive com os valores que calculamos lá em cima

∑ M B = I - α + ∑ m a - d

M B - 4,856 = 0,163 - 1,469

M B = 3,55   N ∙ m

Resposta

O momento total exercido pelo braço A B é M B = 3,55   N ∙ m .

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