Enunciado

Uma bola de boliche de 6,4   k g com uma circunferência de 690   m m tem um raio de giração de 83   m m . Se a bola é lançada com uma velocidade de 6   m / s , mas sem velocidade angular quando toca o chão da pista, calcule a distância percorrida pela bola antes que comece a rolar sem deslizar. O coeficiente de atrito entre a bola e o piso é de 0,20 .

Passo 1

A bola começa o movimento com uma velocidade v 0 que é alta demais para que a bola role sem deslizar.

Conforme ela percorre a pista, que tem certo coeficiente de atrito, a sua velociadde vai ser reduzida até um valor v em que ela começa a rolar sem deslizamento.

Nesse ponto, pela primeira vez desde o início do movimento, a velocidade do centro de massa vai obedecer à seguinte relação:

v = r ω

Então imagine o seguinte: depois que a bola é lançada, a sua velocidade angular começa a aumentar, e a sua velocidade do centro de massa começa a diminuir. Quando as duas são iguais, aí temos rolamento sem deslizamento.

Obs.: “Iguais” no sentido de que são proporcionais uma a outra, tendo o raio da bola como constante de proporcionalidade.

Passo 2

Vamos começar olhando para os tempos que cada grandeza leva para chegar até o ponto que queremos.

Depois de lançada, a única força horizontal agindo sobre a bola será a força de atrito (no sentido que se opõe ao movimento), então a segunda lei de Newton diz que a aceleração da bola será a seguinte:

∑ F x = m a

- μ m g = m a

a = - μ g

Quando está sujeita a essa aceleração, quanto tempo a bola leva para ser desacelerada de v 0 até uma velocidade v ?

v = v 0 + a t

v = v 0 - μ g t

t = v 0 - v μ g

Ok, esse é o tempo que a velocidade do centro de massa demora para diminuir até o valor que precisamos.

Passo 3

Agora vamos pensar na velocidade angular. A força de atrito realiza um momento em relação ao centro de massa da bola e, portanto, produz uma aceleração angular:

∑ M c m = I c m α

μ m g r = I c m α

E o momento de inércia da bola em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa pode ser calculado usando o seu raio de giração k :

I c m = m k 2

μ m g r = m k 2 α

α = μ g r k 2

E como a bola tem velocidade angular inicial ω 0 = 0 , o tempo que demora para atingir o valor ω que queremos é:

ω = α t

ω = μ g r k 2 t

t = k 2 ω μ g r

Lembrando que o valor que queremos é v = ω r , então:

t = k 2 v μ g r 2

Esse é o tempo que a velocidade angular leva para atingir v = ω r .

Passo 4

Podemos igualar esses dois instantes de tempo para descobrir qual é a velocidade v da bola quando ela começa a rolar sem deslizamento:

k 2 v μ g r 2 = v 0 - v μ g

k 2 r 2 v = v 0 - v

E podemos calcular o raio em função da circunferência:

C = 2 π r

r = 0,690 2 π = 0,110   m

Então:

v = v 0 1 + k 2 r 2 = 6 1 + 0,083 2 0,110 2 = 3,82   m / s

E já que a aceleração sobre a bola é a = - μ g , qual a distância percorrida por ela até atingir essa velocidade?

v 2 = v 0 2 + 2 a s

3,82 2 = 6 2 - ( 2 ) ( 0,20 ) ( 9,81 ) s

3,924   s = 21,4076

s = 5,45   m

Resposta

A distância percorrida será de 5,45   m .

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