Enunciado

O ioiô possui uma massa m e um raio de giração k em relação ao seu centro O . O cordão tem um comprimento máximo y = L e se enrola em torno do pequeno núclo central de raio r com sua extremidade fixada a um ponto do núcleo. Se o ioiô é liberado a partir da posição y = 0 com uma velocidade descendente v 0 de seu centro O , determine a tração T no cordão e a aceleração α de seu centro durante os seus movimentos de subida e de descida. Encontre também a velocidade máxima de descida v do seu centro.

Passo 1

Seguindo a ordem das figuras do enunciado, vamos começar analisando o movimento de descida. Precisamos de um diagrama que mostre as forças que agem sobre o ioiô:

Como não conhecemos a força T , vamos começar escrevendo uma equação de momentos em relação ao ponto A . Dessa forma a força T terá momento nulo:

∑ M A = I A α

E a única força que produz momento em torno do ponto A será o peso:

∑ M A = m g r

O momento de inércia em relação ao ponto A pode ser calculado usando o teorema dos eixos paralelos:

I A = I c m + m d 2

Onde d é a distância entre os pontos O e A , e o momento I c m pode ser calculado em função do raio de giração k que foi dado no enunciado:

I A = m k 2 + m r 2 = m k 2 + r 2

Então:

m g r = m k 2 + r 2 α

E já podemos isolar a aceleração angular α do ioiô durante a descida:

α = g r k 2 + r 2

E com isso podemos escrever a aceleração do centro de massa:

a = r α = g r 2 k 2 + r 2

a = g k 2 r 2 + 1

Passo 2

Agora vamos usar a segunda lei de Newton na direção vertical para tentar encontrar a força T :

∑ F y = m a - y

E a aceleração a - y do centro de massa na direção vertical é exatamente a aceleração a que acabamos de calcular:

m g - T = m g k 2 r 2 + 1

E já podemos isolar T :

T = m g 1 - 1 1 + k 2 r 2

Vamos simplificar um pouco essa expressão:

T = m g k 2 + r 2 k 2 + r 2 - r 2 k 2 + r 2 = m g   k 2 k 2 + r 2

T = m g   1 1 + r 2 k 2

Passo 3

Além disso, com a aceleração, podemos calcular a velocidade máxima atingida pelo ioiô:

v 2 = v 0 2 + 2 a Δ s

Claramente a velocidade será máxima quando Δ s for máximo. Nesse caso, o máximo equivale a Δ s = L :

v 2 = v 0 2 + 2 g k 2 r 2 + 1 L

v = v 0 2 + 2 g L k 2 / r 2 + 1

Beleza, já achamos tudo o que foi pedido, mas ainda precisamos verificar o que acontece na subida.

Passo 4

O que muda no diagrama? É só dar uma olhada no desenho do enunciado:

O momento da força peso agora terá o sinal oposto, mas a aceleração angular também, ou seja, ficamos com a mesma equação de antes:

m g r = m k 2 + r 2 α

A segunda lei de Newton também fica exatamente igual:

m g - T = r α

Como estaremos usando as mesmas equações, o resultado necessariamente será o mesmo.

Obs.: Faz sentido que isso seja dessa forma, assim como as equações para o movimento de um objeto lançado na vertical também são as mesmas na subida e na descida.

Resposta

A aceleração é a = g k 2 r 2 + 1 , a tração é T = m g   1 1 + r 2 k 2 e a velocidade máxima é v = v 0 2 + 2 g L k 2 / r 2 + 1 .

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