Enunciado

Determine a força em cada elemento da treliça de telhado Gambrel mostrada na figura. Indique se cada elemento está sob tração ou sob compressão.

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é desenhar o diagrama de corpo livre da treliça:

Agora aplicando o somatório de forças na direção x :

+ → ∑ F x = 0

H x = 0

Devido a simetria desse tipo específico de treliça, o carregamento em y está divido igualmente em H y e A , então:

H y = A = 1350 + 2700 + 2700 + 2700 + 1350 2 → H y = A = 5400   N  

Passo 2

Agora vamos analisar o nó A:

Aplicando semelhança de triângulos entre os triângulos de força e de comprimento, temos:

F A B 3 = F A C 2,4 = 4050 1,8

Pegando a primeira e terceira parcela, temos:

F A B 3 = 4050 1,8 → F A B = 6750   N   ( C )

Pegando a segunda e terceira parcela, temos:

F A C 2,4 = 4050 1,8 → F A C = 5400   N   ( T )

Agora vamos analisar o nó C:

Agora aplicando o somatório de forças na direção x :

+ → ∑ F x = 0

F C E = 5400   N   ( T )

Aplicando o somatório de forças na direção y :

+ ↑ ∑ F y = 0

F B C = 0

Passo 3

Agora vamos analisar o nó B:

Agora aplicando o somatório de forças na direção x :

+ → ∑ F x = 0

2,4 2,47 F B D + 2,4 3 F B E + 2,4 3 6750 = 0 → F B D = - 5557,5 - 0,823 F B E

Aplicando o somatório de forças na direção y :

+ ↑ ∑ F y = 0

0,6 2,47 F B D - 1,8 3 F B E + 1,8 3 6750 - 2700 = 0 → F B E = 2250 + 0,405 F B D

Substituindo o valor de F B D nessa expressão, temos:

F B E = 2250 + 0,405 - 5557,5 - 0,823 F B E → F B E = - 0,6   N → F B E = 0,6   N   ( C )

E, substituindo esse valor na equação para F B D :

F B D = - 5557,5 - 0,823 F B E → F B D = - 5557   N → F B D = 5557   N   ( C )

Agora, analisando o nó D:

Aplicando o somatório de forças na direção x :

+ → ∑ F x = 0

2,4 2,47 5557 + 2,4 2,47 F D F = 0 → F D F = - 5557   N → F D F = 5557   N   ( C )

Aplicando o somatório de forças na direção y :

+ ↑ ∑ F y = 0

0,6 2,47 5557 - 0,6 2,47 - 5557 - 2700 - F D E = 0 → F D E = 0,25   N   ( T )

E, por fim, sabemos que esse tipo de treliça possui uma simetria com relação ao seu carregamento, de forma que:

F E F = F B E → F E F = 0,6   N   C

F E G = F C E → F E G = 5400   N   T

F F G = F B C → F F G = 0

F F H = F A B → F F H = 6750   N   ( C )

F G H = F A C → F G H = 5400   N   T

Resposta

F E F = 0,6   N   C

F E G = 5400   N   T

F F G = 0

F F H = 6750   N   ( C )

F G H = 5400   N   T

F D E = 0,25   N   ( T )

F D F = 5557   N   ( C )

F B D = 5557   N   ( C )

F B E = 0,6   N   ( C )

F B C = 0

F C E = 5400   N   ( T )

F A C = 5400   N   ( T )

F A B = 6750   N   ( C )

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