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Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais - Capítulo 2.Problemas - Ex. 44

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desse livro

Duas barras cilíndricas, uma feita de aço ( E = 200   G P a ) e a outra de latão ( E = 105   G P a ), são ligadas em C . A barra composta é engastada em A , enquanto que existe uma folga de 0,12   m m entre a extremidade E e a parede vertical. Uma força de 60   k N é então aplicada em B , e uma de 40   k N em D , ambas horizontais e dirigidas para a direita (como mostrado na Fig. P2.38). Determinar (a) as reações em A e E ; (b) a deflexão no ponto C . Resolva este problema assumindo que a barra A C é feita de latão e a barra C E de aço.

Passo 1

Estamos diante de um problema estaticamente indeterminado, logo a solução através apenas das forças é impossível, por isso que vamos ter de utilizar as equações de deslocamento também.

Então o nosso objetivo aqui é utilizar o somatório das forças na horizontal e o deslocamento da barra para acharmos, tanto as forças de reação quanto as deflexões, porém observe que existe um espaço de 0,12   m m para a barra se mover, logo δ = 0,12   m m .

∑ F x = 0

δ = ∑ P i ⋅ L i A i ⋅ E i = 0,12   m m

Passo 2

Fazer o diagrama de corpo livre da barra, de modo a achar uma equação com as forças de reação:

Onde R A e R E são as reações de apoio que a barra sofre. Lembrando que estes sentidos sempre serão arbitrários, caso estejam corretos, ao final do exercício iremos achar valores positivos, caso estejam errados acharemos valores negativos.

Como a barra está estática podemos afirmar que:

∑ F x = 0

Lembrando que é sempre importante decidir um sentido positivo e carrega-lo até o fim do exercício! Aqui vamos escolher o sentido que aponta para a direita como positivo.

- R A + 60 + 40 - R E = 0

R A + R E = 100

Passo 3

Como vimos o problema está estaticamente indeterminado e precisamos achar uma outra equação para podermos achar as reações R A e R E . Essa outra equação é a da deflexão.

δ   = ∑ P i ⋅ L i A i ⋅ E i = 0 , 12   m m

Para o nosso caso temos 4 partes, ou 4 deltas ( δ ), então nossa equação fica da forma:

δ = δ A B + δ B C + δ C D + δ D E = 0,12   m m

P A B ⋅ L A B A A B ⋅ E A B + P B C ⋅ L B C A B C ⋅ E B C + P C D ⋅ L C D A C D ⋅ E C D + P D E ⋅ L D E A D E ⋅ E D E = 0,12   m m

Nós temos quase todos os dados, temos o tamanho inicial L , a área A e o coeficiente de elasticidade E . Porém, não temos as forças P . Para achar essas forças temos que cortar cada pedaço (AB, BC, CD e DE) e ver quais forças estão aplicadas apenas nesse pedacinho cortado, como mostrado no próximo passo.

Passo 4

  • Para o segmento AB:
  • Então a força P aplicada no segmento AB é igual a R A .

    P A B = R A

  • Para o segmento BC:
  • Repare que aqui, para que a força P mantenha o corpo em equilíbrio ela deve ser igual a R A - 60

    P B C = R A - 60

  • Para o segmento CD
  • Olha só como esse caso é idêntico ao anterior! Logo:

    P C D = R A - 60

  • Para o segmento DE

Neste caso para manter o equilíbrio

P D E = R A - 60 - 40 = R A - 100

Aqui vale uma observação!

Neste caso fomos seccionando a barra da esquerda para a direita e repare que R E não apareceu, poderíamos fazer da direita para a esquerda também. Ainda mais, poderíamos pegar apenas a última parte da direita para a esquerda e o resto da esquerda para a direita.

Ou seja, o método de seccionar a barra não importa, o que importa é manter sempre os mesmos sentidos.

Passo 5

Agora vamos voltar para nossa equação do deslocamento e aplicar os valores, já que conhecemos todos agora (pelo menos em função de R A né!? Que é o que queremos)

P A B ⋅ L A B A A B ⋅ E A B + P B C ⋅ L B C A B C ⋅ E B C + P C D ⋅ L C D A C D ⋅ E C D + P D E ⋅ L D E A D E ⋅ E D E = 0,12   m m

R A ⋅ 180 π ⋅ 40 2 4 ⋅ 105 + ( R A - 60 ) ⋅ 120 π ⋅ 40 2 4 ⋅ 105 + ( R A - 60 ) ⋅ 100 π ⋅ 30 2 4 ⋅ 200 + ( R A - 100 ) ⋅ 100 π ⋅ 30 2 4 ⋅ 200 = 0,12

R A ⋅ 180 π ⋅ 40 2 ⋅ 26,25 + ( R A - 60 ) ⋅ 120 π ⋅ 40 2 ⋅ 26,25 + ( R A - 60 ) ⋅ 100 π ⋅ 30 2 ⋅ 50 + ( R A - 100 ) ⋅ 100 π ⋅ 30 2 ⋅ 50 = 0,12

R A ⋅ 180 π ⋅ 1600 ⋅ 26,25 + ( R A - 60 ) ⋅ 120 π ⋅ 1600 ⋅ 26,25 + ( R A - 60 ) ⋅ 100 π ⋅ 900 ⋅ 50 + ( R A - 100 ) ⋅ 100 π ⋅ 900 ⋅ 50 = 0,12

R A ⋅ 180 131946,89 + ( R A - 60 ) ⋅ 120 131946,89 + ( R A - 60 ) ⋅ 100 141371,67 + ( R A - 100 ) ⋅ 100 141371,67 = 0,12

13,642 ⋅ 10 - 4 ⋅ R A + 9,095 ⋅ 10 - 4 ⋅ R A - 60 + 7,074 ⋅ 10 - 4 ⋅ R A - 60 + 7,074 ⋅ 10 - 4 ⋅ R A - 100 = 0,12

Dividindo os dois lados da equação por 10 - 4

13,642 ⋅ R A + 9,095 ⋅ R A - 60 + 7,074 ⋅ R A - 60 + 7,074 ⋅ R A - 100 = 0,12 ⋅ 10 4

Juntando os termos R A

13,642 + 9,095 + 7,074 + 7,074 R A - 9,095 ⋅ 60 - 7,074 ⋅ 60 - 7,074 ⋅ 100 = 1200

36,885 ⋅ R A - 1677,54 = 1200

R A = 2877,54 36,885

R A = 78,0   k N

Passo 6

Agora substituímos na equação lá do passo 2:

R A + R E = 100

78,0   + R E = 100

R E = 100 - 78,0

R E = 22,0   k N

Ambos os valores estão positivos, então os sentidos estipulados originalmente estavam corretos =)

E voilà a letra A morreu

R A = 78,0   k N

R E = 22,0   k N

Passo 7

Agora para responder a letra b basta aplicar a equação do deslocamento novamente, da seguinte forma.

δ C = δ A B + δ B C

δ C = P A B ⋅ L A B A A B ⋅ E A B + P B C ⋅ L B C A B C ⋅ E B C

δ C = 78   ⋅ 180 π ⋅ 40 2 4 ⋅ 105 + ( 78   - 60 ) ⋅ 120 π ⋅ 40 2 4 ⋅ 105

δ C = 14040 π ⋅ 1600 ⋅ 26,25 + 18 ⋅ 120 π ⋅ 1600 ⋅ 26,25

δ C = 0,1064 + 0,0164

δ C = 0,1228   m m

É legal perceber que quando utilizamos a força em k N , o comprimento em m m , a área em m m ² e o módulo de elasticidade em G P a , o nosso resultado aparece em m m .

Muitas vezes o resultado também será expresso em micrômetros

1 μ m = 10 - 3 m m = 10 - 6 m

δ C = 0,1228   m m = 122,8   μ m

Resposta

a)

R A = 78,0   k N

R E = 22,0   k N

b)

δ C = 0,1228   m m = 122,8   μ m

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