Enunciado

As duas barras esbeltas, cada uma com uma massa de 4 kg, são articuladas em B e C . Se um impulso horizontal ∫ F d t = 14   N ∙ s é aplicado à extremidade A da barra inferior, por um intervalo de 0,1 s, durante o qual as barras ainda estão praticamente nas suas posições verticais de repouso, calcule a velocidade angular ω 2 da barra superior imediatamente após o impulso.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Massa de cada barra: m = 4   k g ;

Impulso horizontal: ∫ F d t = 14   N ∙ s ;

Intervalo de tempo de aplicação do impulso: t = 1   s .

Nestas condições, devemos calcular a velocidade angular ω 2 da barra superior imediatamente após o impulso.

Além disso, durante este intervalo de tempo, as barras ainda estão praticamente nas suas posições verticais de repouso, ou seja, trata-se de um deslocamento infinitesimal.

Vamos desenhar o diagrama de corpo livre e cinético das barras:

Passo 2

Primeiramente, vamos encontrar o momento de inercia da barra:

Sabemos que

I = 1 12 m l 2

Logo, neste caso, temos

I = 1 12 4 1,2 2

I = 0,48   k g   m 2

Passo 3

Em seguida, vamos encontrar a velocidade angular da barra:

O enunciado pede o valor de ω 2 . Sabemos que ω 2 = v 2 / 0,6 , portanto devemos encontrar o valor de v 2 .

Temos que

ω 1 = v 1 + v B 0,6 = v 1 + 2 v B 0,6

Analisando o sistema e utilizando o ponto C como referência, temos que

∫ ∑ M C d t = ∆ H C

Logo,

14 2,4 = 4 v 1 1,8 + 0,48 ω 1 - 4 v 2 0,6 - 0,48 ω 2

Agora, vamos analisar as barras individualmente.

Para a barra A B , temos

∫ ∑ M C d t = ∆ H C

14 2,4 - ∫ 1,2   B x d t = 4 v 1 1,8 + 0,48 ω 1

E

∫ ∑ F x d t = ∆ G x

14 - ∫ B x d t = 4 v 1

Passo 4

Agora vamos analisar as equações obtidas no passo anterior.

Resolvendo o sistema

14 2,4 - ∫ 1,2   B x d t = 4 v 1 1,8 + 0,48 ω 1 14 - ∫ B x d t = 4 v 1 ω 1 = v 1 + 2 v B 0,6

Obtemos

2 v 1 + v 2 = 10,5

Resolvendo o sistema

14 2,4 = 4 v 1 1,8 + 0,48 ω 1 - 4 v 2 0,6 - 0,48 ω 2 ω 2 = v 2 / 0,6 ω 1 = v 1 + 2 v B 0,6

Obtemos

5 v 1 - v 2 = 21

Combinando as duas equações obtidas, chegamos à

7 v 1 = 31,5

v 1 = 4,5

v 2 = 10,5 - 2 4,5 = 1,5

Logo,

ω 2 = v 2 0,6 = 2,5   r a d / s

Resposta

ω 2 = 2,5   r a d / s

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