Enunciado

110. Se a roda no caso (a) do problema 7 / 109 é forçada a executar uma precessão em torno da vertical, por um acionamento mecânico na taxa constante de Ω = 2 j ^   r a d / s , determine o momento fletor na haste horizontal em A . Na ausência de atrito, qual o torque M o é aplicado a luva em O para manter esse movimento?

Passo 1

A questão diz que a roda do nosso problemaé forçada a executar uma precessão em torno da vertical. Vamos então fazer o esboço dos esforços presentes no nosso sistema.

Primeiro, para a haste que sustenta a roda:

E depois, para não perder a viagem, bora fazer o esboço dos esforços presentes, considerando dessa vez a vista lateral da nossa roda, juntamente com o sentido do giro p e da precessão . Vale lembrar, que o momento M x , o giro p e precessão são todos ortogonais.

E olhando a figura, tem duas coisas que já podemos tirar logo de cara, que é:

O esforço da força peso, igual a:

m g = 4   k g ⋅ ( 9,81   m / s 2 )

m g = 39,2   N

E a precessão , igual a:

Ω = 2 j ^   r a d / s

Passo 2

E como podemos ver na segunda figura que esboçamos temos a presença do momento, o que nos leva ao fato de que não podemos esquecer que ele está relacionado ao momento de inércia e à precessão pela seguinte fórmula, considerando é claro que eles estão em direções ortogonais, de modo que nem precisamos fazer o produto vetorial:

M x = I z z Ω p

Olha só que beleza. A questão 7.109   já nos forneceu que o raio de giração k z é igual a 120   m m . Podemos reescrever a fórmula de M x então, como:

M x = m k z 2 Ω p

E como sabemos os valores numéricos:

m = 4 k g k z = 0,12   m Ω = 2   r a d / s p = 3600   r p m

Bora tratar de substituir na fórmula, pois tá na cara que é o momento M x   que iremos obter:

M x = m k z 2 Ω p

M x = 4   k g 0,12   m 2 2 r a d s 3600 ⋅ 2 π 60 r a d s

M x = 43 , 4   N ⋅ m

Obtido o valor de M x , voltemos à seguinte imagem:

Tá na cara que o valor do momento fletor em A , dado por M A , é obtido pela subtração dos momentos M x e M 5 :

M A = M x - M 5

Onde M 5 é obtido fazendo o somatório dos momentos na haste, como exposto abaixo:

M 5 - 4   k g 9,81 m s 2 0,320   m = 0

M 5 ≅ 12,56   N ⋅ m

Com isso, obtemos o valor do momento fletor em A :

M A = 43,4   N ⋅ m - 12,56   N ⋅ m

M A = 30,84   N ⋅ m

Passo 3

Em relação ao torque aplicado na ausência de atrito, temos que como a própria questão fala que não existe atrito, a precessão será uma constante, pelo qual a sua derivada temporal Ω ˙ , que será obviamente igual a zero.

E qual é mesmo a fórmula que relaciona precessão e o momento M 0 . Acho que ela tem a seguinte cara:

∑ M 0 = I 0 Ω ˙

Como Ω ˙ = 0 , então tiramos que:

M 0 = 0

Resposta

M A = 30,84   N ⋅ m

M 0 = 0

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