Enunciado

Duas placas de cobertura, cada uma com 16   m m de espessura, são soldadas a uma viga de perfil laminado W   690 × 125 , como mostrado. Sabendo-se que σ a d m = 160 M P a , determinar: (a) a largura necessária b das placas; (b) o comprimento necessário l das placas.

Passo 1

Fala aí, pessoal!!!

Para achar o comprimento b   nesse problema e achar a máxima tensão normal na seção a gente vai ter que calcular o módulo resistente da seção composta.

Depois disso a gente vai calcular o momento fletor no ponto centro da viga e através da seguinte relação vamos conseguir encontrar a nossa tensão:

σ = M W

Depois, para achar o comprimento l a gente vai ter que descobrir qual o maior momento fletor que a viga sem a cobertura consegue aguentar, nesse ponto deverá começar o reforço!

Passo 2

Vamos achar o módulo resistente da seção W , que é dado pelo momento de inércia I dividido pela maior distância c que se pode achar entre a linha neutra e a superfície.

W = I c

Mas a gente tem que reparar que é uma figura composta, é o perfil W   690 × 125 mais as duas placas de cobertura. Se a gente for lá na tabela de perfis de abas largas vamos encontrar que o módulo de resistência desse perfil é:

I = 1186 × 10 6   m m 4

I = 1186 × 10 - 6   m 4

Além disso vamos precisar também da altura da viga:

d = 678   m m

d = 0,678   m

A gente pegou esses valores para que possamos calcular o módulo resistente da viga com as duas placas soldadas, como essas placas são retangulares podemos calcular o momento de inércia como:

I b a r r a = 1 12 b h 3

Então para cada barra vamos ter:

I b a r r a = 1 12 b 0,016 3

I b a r r a = 3,413 b × 10 - 7   m 3

Aplicando o teorema dos eixos paralelos podemos obter o momento de inércia da viga com as coberturas. Lembrando que o teorema dos eixos paralelos diz que:

I = I 0 + A d 2

I = I v i g a + 2 × ( I b a r r a + A d 2 )

Onde a área A é a área de cada barra e a distância d é a distância entre o centro da viga até o centro da barra:

d = 0,678 2 + 0,016 2 = 0,347   m

I = 1186 × 10 - 6   + 2 × ( 3,413 b × 10 - 7 + b × 0,016 × 0,347   2 )

I = ( 1186 × 10 - 6 + 3,85 b × 10 - 3 )   m 4

Show! Esse é o momento de inércia da nossa viga composta. Agora para achar o módulo de resistência W basta dividir por c , sendo que c é a distância do centro da viga até a superfície da barra:

c = 0,678 2 + 0,016 = 0,355   m  

Portanto, vamos ter:

W = I c

W = ( 1186 × 10 - 6 + 3,85 b × 10 - 3 )   0,355

W = 3,34 × 10 - 3 + 10,85 b × 10 - 3   m 3

Passo 3

Agora vamos calcular o momento fletor máximo que esta viga suporta. Para isso que tal fazermos um desenho simplificado dessa viga?

Já podemos perceber que a força B x é nula porque é a única força em x . Agora vamos partir para o omatório das forças em y :

∑ F y = 0

A y - 500 + B y = 0

A y + B y = 500

Como a viga possui um carregamento simétrico então os termos A y e B y serão iguais:

A y = B y = 250   k N

Além disso, o momento fletor no ponto médio da barra será igual a:

M = A y × 4

M = 250 × 4 = 100   k N . m

Passo 4

Agora para calcular a máxima tensão normal a gente tem que lembrar que essa tensão máxima sempre ocorre no ponto mais superficial da viga, e é calculada como:

σ = M W

Substituindo os valores que achamos:

160 × 10 6 = 1000 × 10 3 3,34 × 10 - 3 + 10,85 b × 10 - 3

160 × 3,34 + 160 × 10,85 b = 1000

b = 0,268

b = 268   m m

Passo 5

Para achar o comprimento l vamos calcular o momento fletor num ponto x da barra menor do que 4   m :

M = A y × x

M = 250 x

Agora vamos substituir esse valor na nossa equação.

Passo 6

σ = M W

Aqui é importante lembrarmos que a cobertura não existe, logo temos de utilizar o módulo resistente da viga sozinha, que é dado pela tabela:

W = 3500 × 10 3   m m 3

W = 3500 × 10 - 6   m 3

Fazendo as substituições:

160 × 10 6 = 250 x × 10 3 3500 × 10 - 6

2 50 x × 10 3 = 160 × 10 6 × 3500 × 10 - 6

x = 160 × 3500 250 × 10 3

x = 2,24

Lembre-se que não queremos x queremos l , podemos achar l como:

l 2 + x = 4

l 2 = 4,24

l = 8,48   m

Resposta

a)

b = 268   m m

b)

l = 8,48   m

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