Enunciado

As duas vigas I são soldadas juntas e são inicialmente suportadas por três cabos de igual comprimento pendurados verticalmente em suportes diretamente acima de A , B e C . Quando aplicada com o deslocamento d apropriado, a força 200   N faz com que o sistema assuma a nova configuração de equilíbrio mostrada. Todos os três cabos são inclinados no mesmo ângulo da vertical, em planos paralelos ao plano y - z . Determine esta deflexão θ e o deslocamento adequado d . As vigas A B e O C têm massas de 72   k g e 50   k g , respectivamente. O centro de massa do feixe O C tem uma coordenada y de 725   m m .

Passo 1

Fala galera! Tudo certo? Vamos dividir a resolução em algumas etapas, beleza? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar a deflexão θ e o deslocamento adequado d para a força de 200   N . Vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre do nosso problema com os pesos das vigas A B e O C , as tensões nos cabos A , B e C e a força de 200   N atuando nelas.

O peso da barra A B de 72   k g é dado por:

W A B = m g

W A B = 72 * 9,81

W A B = 706,32   N

E o da barra O C de 50   k g :

W O C = m g

W O C = 50 * 9,81

W O C = 490,5   N

Passo 2

Nós temos cinco incógnitas ( T A , T B , T C , o ângulo θ e comprimento d ), portanto, precisamos de cinco equações de equilíbrio para determiná-las. Como se trata de um sistema extenso, vamos resolver aos poucos, assim simplificamos nossos cálculos, beleza?

Pelo diagrama de corpo livre temos que apenas a tensão T C e o peso W O C da barra O C produzem momento em torno do eixo x (pois todas as outras forças estão aplicadas neste eixo), então vamos começar fazendo o equilíbrio de momentos em torno de x :

∑ M x = 0

- 725 * W O C + 1400 * T C cos ⁡ θ = 0

T C = 725 * 490,5 1400 cos ⁡ θ

T C = 254 cos ⁡ θ

Assim temos nossa equação ( 1 ) .

Com relação ao eixo y , apenas o peso W A B da barra A B e as tensões T A e T B . Então, pelo equilíbrio de momentos em torno de y temos que:

∑ M y = 0

1200 T A cos ⁡ θ - 200 W A B - 800 T B cos ⁡ θ = 0

T A = 200 * 706,32 + 800 T B cos ⁡ θ 1200 cos ⁡ θ

T A = 117,72 cos ⁡ θ + 0,667 T B

Vamos chamar essa de equação ( 2 ) .

Beleza! Até aqui temos duas equações e três incógnitas. Vamos introduzir então as equações de equilíbrio de forças nas direções x , y e z , começando pela direção z :

∑ F z = 0

T A cos ⁡ θ + T B cos ⁡ θ + T C cos ⁡ θ - W A B - W B C = 0

Substituindo as expressões de T A e T C das equações ( 1 ) e ( 2 ) , temos:

117,72 cos ⁡ θ + 0,667 T B cos ⁡ θ + T B cos ⁡ θ + 254 cos ⁡ θ cos ⁡ θ = W A B + W B C

117,72 + 0,667 T B cos ⁡ θ + T B cos ⁡ θ + 254 = 706,32 + 490,5

1,667 T B cos ⁡ θ = 825,1

T B = 495 cos ⁡ θ

Substituindo T B na equação ( 2 ) :

T A = 117,72 cos ⁡ θ + 0,667 495 cos ⁡ θ

T A = 447,9 cos ⁡ θ

Passo 3

Dessa forma, todas as três tensões estão em função do ângulo θ e para encontra-lo podemos simplesmente fazer o equilíbrio de forças na direção y , já que todas as tensões estão no plano y - z .

∑ F y = 0

200 - T A sen ⁡ θ - T B sen ⁡ θ - T C sen ⁡ θ = 0

447,9 cos ⁡ θ sen ⁡ θ + 495 cos ⁡ θ sen ⁡ θ + 254 cos ⁡ θ sen ⁡ θ = 200

tan ⁡ θ 447,9 + 495 + 254 = 200

θ = tan - 1 ⁡ 200 447,9 + 495 + 254

θ = 9,49 °

Passo 4

Lembrando que o exercício não pediu que descobríssemos os valores de T A , T B e T C , mas ainda precisamos determinar o deslocamento adequado d para a força de 200   N .

Calma que agora ficou fácil! Para determinar d , vamos utilizar a equação de equilíbrio que nos restou, o somatório de momentos em torno do eixo z .

∑ M z = 0

1200 T A sen ⁡ θ - 200 d - 800 T B sen ⁡ θ = 0

Vamos utilizar as expressões de T A e T B que definimos no Passo 2:

200 d = 1200 * 447,9 cos ⁡ 9,49 ° sen ⁡ 9,49 ° - 800 * 495 cos ⁡ 9,49 ° sen ⁡ 9,49 °

d = 23650 200

d = 118,25   m m

Ufa! Essa já foi hein? Partiu pra próxima!

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Resposta

θ = 9,49 °

d = 118   m m

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