Enunciado

A lança leve em ângulo reto que sustenta o cilindro de 400   k g é sustentada por três cabos e uma junta esférica em O presa à superfície vertical x - y . Determine as reações em O e as tensões nos cabos.

Passo 1

Fala galera! Tudo certo? Vamos dividir a resolução em algumas etapas, beleza? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar as reações no apoio em O e as tensões nos cabos A C , B D e B E . Vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre da lança com o seu peso, as reações em O e as tensões dos cabos atuando nela.

Show de bola, então bora começar definindo vetorialmente o peso W do cilindro e as tensões nos cabos A C , B D e B E a partir de seus vetores unitários.

W → = W 0 i ^ - 1 j ^ + 0 k ^

W → = 400 * 9,81 0 i ^ - 1 j ^ + 0 k ^

W → = 0 i ^ - 3924 j ^ + 0 k ^   N

E para os cabos temos:

T A C → = T A C A C → A C

T A C → = T A C - 1 - 0 i ^ + 1 - 0 j ^ + 0 - 2 k ^ - 1 - 0 2 + 1 - 0 2 + 0 - 2 2

T A C → = T A C - 1 i ^ + 1 j ^ - 2 k ^ 6

T A C → = T A C - 0,408 i ^ + 0,408 j ^ - 0,816 k ^

T B D → = T B D B D → B D

T B D → = T B D 1,5 - 1,5 i ^ + 2 - 0 j ^ + 0 - 2 k ^ 1,5 - 1,5 2 + 2 - 0 2 + 0 - 2 2

T B D → = T B D 0 i ^ + 2 j ^ - 2 k ^ 8

T B D → = T B D 0 i ^ + 0,707 j ^ - 0,707 k ^

T B E → = T B E B E → B E

T B E → = T B E 1,5 - 1,5 i ^ + 0 - 0 j ^ + 0 - 2 k ^ 1,5 - 1,5 2 + 0 - 0 2 + 0 - 2 2

T B E → = T B E 0 i ^ + 0 j ^ - 2 k ^ 4

T B E → = T B E 0 i ^ + 0 j ^ - 1 k ^

Passo 2

Muita conta né?

Calma que tudo vai dar certo no final! Hehehe Agora que temos todas as forças, vamos calcular o momento em torno do ponto O , que deve ser nulo uma vez que o corpo está em equilíbrio.

∑ M O = 0

r A → × T A C → + r B → × T B D → + r B → × T B E → + r F → × W → = 0

0 i ^ + 0 j ^ + 2 k ^ × T A C - 0,408 i ^ + 0,408 j ^ - 0,816 k ^

+ 1,5 i ^ + 0 j ^ + 2 k ^ × T B D 0 i ^ + 0,707 j ^ - 0,707 k ^

+ 1,5 i ^ + 0 j ^ + 2 k ^ × T B E 0 i ^ + 0 j ^ - 1 k ^ + ( 0,75 i ^ + 0 j ^ + 2 k ^ ) × 0 i ^ - 3924 j ^ + 0 k ^ = 0

T A C - 0 * 0,816 - 2 * 0,408 i ^ - - 0 * 0,816 + 2 * 0,408 j ^ + 0 * 0,408 + 0 * 0,408 k ^

+ T B D - 0 * 0,707 - 2 * 0,707 i ^ - - 1,5 i ^ * 0,707 - 2 * 0 j ^ + 1,5 * 0,707 - 0 * 0 k ^

+ T B E - 0 * 1 - 2 * 0 i ^ - - 1,5 * 1 - 2 * 0 j ^ + 1,5 * 0 - 0 * 0 k ^

+ 0 * 0 + 2 * 3924 i ^ - 0,75 * 0 - 2 * 0 j ^ + - 0,75 * 3924 - 0 * 0 k ^ = 0

T A C - 0,816 i ^ - 0,816 j ^ + 0 k ^ + T B D - 1,414 i ^ + 1,061 j ^ + 1,061 k ^ + T B E 0 i ^ + 1,5 j ^ + 0 k ^

7848 i ^ + 0 j ^ - 2943 k ^ = 0

- 0,816 T A C - 1,414 T B D + 7848 i ^ + - 0,816 T A C + 1,061 T B D + 1,5 T B E j ^

+ 1,061 T B D - 2943 k ^ = 0

Passo 3

Para que o somatório seja nulo, as componentes i ^ , j ^ e k ^ também devem ser nulas, então:

- 0,816 T A C - 1,414 T B D + 7848 = 0 - 0,816 T A C + 1,061 T B D + 1,5 T B E = 0 1,061 T B D - 2943 = 0

Da terceira equação temos:

T B D = 2943 1,061

T B D = 2773,8   N

Substituindo T B D na primeira equação:

- 0,816 T A C - 1,414 * 2773,8 + 7848 = 0

T A C = 7848 - 1,414 * 2773,8 0,816

T A C = 4811,09   N

E, finalmente, substituindo T B D e T A C na segunda equação:

- 0,816 * 4811,09 + 1,061 2773,8 + 1,5 T B E = 0

T B E = 655,23   N

Com isso, temos as tensões nos cabos.

Passo 4

Para encontrar a reação em O , vamos utilizar as equações de equilíbrio de forças nas direções x , y e z :

∑ F x = 0

- 0,408 T A C + O x = 0

O x = 0,408 * 4811,09

O x = 1962,92   N

∑ F y = 0

0,408 T A C + 0,707 T B D - 3924 + O y = 0

O y = 3924 - 0,408 * 4811,09 - 0,707 * 2773,8

O y = 0

∑ F z = 0

- 0,816 T A C - 0,707 T B D - 1 T B E + O z = 0

O z = 0,816 * 4811,09 + 0,707 * 2773,8 + 655,23  

O z = 6542,16   N

Ufa! Essa foi graande hein? Agora partiu pra próxima!

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Resposta

O x = 1962,92   N

O y = 0

O z = 6542,16   N

T A C = 4811,09   N

T B D = 2773,8   N

T B E = 655,23   N

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