Enunciado

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Quando o efeito de arrasto aerodinâmico é incluído, a aceleração y de uma bola de beisebol movendo-se verticalmente para cima é a u = - g - k v 2 , enquanto a aceleração quando a bola está movimento descendente é a d = - g + k v 2 , onde k é uma constante positiva e v é a velocidade em metros por segundo. Se a bola é lançada para cima a 30   m / s aproximadamente a partir do solo, calcule a sua altura máxima h e sua velocidade v f quando colide com o solo. Adote k como 0,006   m - 1 e assuma que g é constante.

Passo 1

Galera, vamos primeiro tentar achar a altura máxima h , onde teremos velocidade nula. Como temos a expressão da aceleração a u = - g - k v 2 em termos da velocidade, temos que usar uma equação diferencial que relacione essas três coisas: velocidade, aceleração e distância.

Então, podemos usar a seguinte equação diferencial:

v   d v = a   d s

Substituindo o valor de a u :

v   d v = - g - k v 2   d s

Passo 2

Show! Agora, vamos dar uma ajeitadinha na equação e integrá-la:

v g + k v 2   d v = - d s

Lembre-se que a bola parte do solo com 30   m / s e alcança sua altura máxima com velocidade nula:

∫ 30 0 v g + k v 2   d v = - ∫ 0 h d s

Pra calcular a integral da esquerda, lembre-se do seguinte:

∫ x A + B x 2   d x = 1 2 B ln ⁡ A + B x 2

Então, temos:

1 2 k ln ⁡ g + k v 2 30 0 = - s 0 h

1 2 k ln ⁡ g - ln ⁡ g + 900 k = - h

h = - 1 2 k ln ⁡ g g + 900 k

Se substituirmos os valores das constantes k = 0,006   m - 1 e g = 9,8   m / s 2 , teremos a seguinte altura máxima:

h = 36,58   m

Passo 3

Beleza! Agora vamos buscar a velocidade final v f . Novamente, podemos usar a equação diferencial:

v   d v = a   d s

Porém, a gente vai substituir o valor de a d , já que agora queremos analisar o movimento de descida:

v   d v = - g + k v 2   d s

v - g + k v 2   d v = d s

Lembre-se que devemos ter velocidade nula quando a altura h é máxima, e altura nula quando tivermos a velocidade final v f :

∫ 0 v f v - g + k v 2   d v = ∫ h 0 d s

1 2 k ln ⁡ - g + k v 2 0 v f = s h 0

1 2 k ln ⁡ - g + k v f 2 - ln ⁡ - g = 0 - h

ln ⁡ - g + k v f 2 - g = - 2 k h

Passo 4

Vamos tentar isolar v f na equação encontrada no passo anterior:

ln ⁡ 1 - k g v f 2 = - 2 k h

1 - k g v f 2 = e - 2 k h

1 - k g v f 2 = ± e - 2 k h

k g v f 2 = 1 ∓ e - 2 k h

v f = g - g e - 2 k h k                     o u                     v f = g + g e - 2 k h k

Se substituirmos os valores das constantes k = 0,006   m - 1 e g = 9,8   m / s 2 , e da altura máxima já calculada h = 36,58   m , teremos os seguintes possíveis valores de v f :

v f = 24,09   m / s                     o u                     v f = 51,83   m / s

Como a bola foi lançada com a velocidade de 30   m / s e não é possível que ela retorne ao solo com um valor maior do que esse, então temos:

v f = 24,09   m / s

Resposta

h = 36,58   m

v f = 24,09   m / s

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