Enunciado

O eixo de aço é composto por dois segmentos: AC, com diâmetro de 12 mm e CB, com diâmetro de 25 mm. Se estiver preso em suas extremidades A e B e for submetido a um torque de 750 N . m , determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo. G a ç o = 75 G P a .

Passo 1

Antes de colocarmos a mão na massa, vamos listar os dados que o enunciado nos deu:

d A C = 12 m m = 0,012 m

d C B = 25 m m = 0,025 m

T D = 750 N . m

G a ç o = 75 G P a  

Para nos ajudar, bora fazer o diagrama de corpo livre:

Confiem em mim essa questão é bem tranquila. Vou dar um spoiler do que iremos fazer para matá-la.

Inicialmente, devemos encontrar os valores de T A e T B que tendem a equilibrar a torção no eixo. Opa! Falou em “equilíbrio”, então vamos fazer que o somatório de momentos tem que ser igual a zero:

∑ M = 0

- T A + T - T B = 0

750 N . m = T A + T B

Po, legal, hein. Agora temos uma equação de equilíbrio e duas incógnitas... eu só quero que vocês guardem essa equação, ok? Para acharmos efetivamente os valores de T A e T B , como o eixo está engastado em A e B , utilizaremos o princípio de que o ângulo de torção no trecho A D é igual ao ângulo de torção no trecho B D , porém com sentido contrário:

ϕ A D = ϕ B D

∑ T A × L J × G = T B × L B D J × G

Com o valor de T A e T B em mãos e sabendo que τ m á x = T m á x × c J , fica fácil determinarmos a tensão de cisalhamento máxima no eixo.

Chega de spoiler! A dica é que vocês tentem fazer a questão depois de entenderem esse passo 1, mas caso não consigam, não tem problema. Vamos resolver passo a passo, beleza?

Então, vamos lá?

Passo 2

Como já foi dito, precisamos encontrar os valores de T A e T B que tendem a equilibrar a torção no eixo. Fazendo o somatório de momentos igual a zero e adotando o sentido anti-horário como positivo, temos:

∑ M = 0

- T A + T - T B = 0

750 N . m = T A + T B

Obs: T A e T B são torques de reação que mantém o sistema em equilíbrio, em função do momento torsor aplicado no sistema. Os valores de T A e T B também variam em função da distância do ponto onde é aplicado o torque. 😉

Passo 3

Agora, como o eixo está engastado em A e B , vamos utilizar aquele princípio de que o ângulo de torção no trecho A D é igual ao ângulo de torção no trecho B D , porém com sentido contrário.

ϕ A D = ϕ B D

∑ T A × L J × G = T B × L B D J × G

T A × L A C J A C × G + T A × L C D J C D × G = T B × L B D J B D × G

Atribuindo valores a fórmula, temos:

T A × 0,125 c m π 2 0,006 m 4 × G a ç o + T A × 0,2 m π 2 0,0125 m 4 × G a ç o = T B × 0,3 m π 2 0,0125 m 4 × G a ç o

O G a ç o e π 2   são iguais para todo mundo, então podemos passar o cerol neles, certo?

T A × 0,125 c m 0,006 m 4 + T A × 0,2 m 0,0125 m 4 = T B × 0,3 m 0,0125 m 4

104,6426 × 10 6 T A = 12,288 × 10 6 T B

T B = 104,6426 T A 12,288

T B = 8,5158 T A

Guardaram a equação de equilíbrio que eu pedi lá no passo 1? Agora, temos duas equações e duas incógnitas:

750 N . m = T A + T B T B = 8,5158 T A          

750 N . m = T A + 8,5158 T A

750 N . m = 9,5158 T A

T A = 750   N . m 9,5158 = 78,816 N . m  

Logo T B será:

750 N . m = 78,816 N . m + T B

T B = 750 N . m - 78,816 N . m

T B = 671,184 N . m

Passo 4

Pronto! Já encontramos os valores de T , agora vamos utilizar a fórmula da τ m á x :

τ m á x = T m á x × c J

Como T A age nos trechos A C   e C D , precisaríamos calcular duas tensões, certo? NÃO!!!! O bizu é ver o trecho que tem o menor diâmetro, nesse caso o trecho A C :

τ A C m á x = 78,816 N . m × ( 0,006 m ) π 2 0,006 m 4 = 232,30 M P a

Agora, calculando para o trecho B D :

τ B D m á x = 671,184 N . m × ( 0,0125 m ) π 2 0,0125 m 4 = 218,77 M P a

Portanto, conclui-se que o valor de τ m á x no eixo é de 232,30 M P a .

Executamu mais uma! VAPO!

Resposta

τ m á x = 232,30 M P a

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