Enunciado

O eixo falhará quando o momento fletor máximo for M m á x = 50   k N ∙ m ou o esforço cortante máximo for V m á x = 40   k N . Determine a maior intensidade w da carga distribuída que a viga

Passo 1

Para determinar os diagramas de esforço, em primeiro lugar as reações de apoio devem ser determinadas.

Em seguida, o eixo deve ser seccionado em posições a partir da extremidade esquerda que se estendem para partes entre forças, momentos ou carga distribuídas.

Para cada distância x (espaço entre a extremidade esquerda e o ponto escolhido para seccionar), o diagrama de corpo livre deve ser feito indicando o esforço cortante V e o momento fletor M em suas convenções positivas, tal que V é obtido através da soma das forças verticais e M é obtido através da soma dos momentos em relação a extremidade esquerda.

Enfim, com os valores dessas duas variáveis determinadas é possível desenhar os diagramas de esforços e tirar conclusões sobre os valores máximos de cada variável.

Passo 2

Sendo assim, fazendo o DCL de toda a viga obtém-se:

Deve-se lembrar que a força resultante gerada por um carregamento retangular é dada por

F R r e t = w x

E a posição do centroide é

x ¯ r e t = b 2

Enquanto que para uma carga triangular serão dados por:

F R t = 1 2 w x

E:

x ¯ t = b 3

Logo, para este caso, as resultantes serão dadas por:

F R 1 = 1 2 w 2 = w

E

F R 2 = w 2 = 2 w

E os centroides se encontram em:

x ¯ 1 = 2 3 = 0,667 m

E

x ¯ 2 = 2 2 = 1 m

Como não existem forças atuando no eixo horizontal, então B x é nulo.

Com isso, para se determinar as reações nos pontos A e B deve ser feito o somatório de momentos em relação a algum desses pontos.

Então, fazendo em relação ao ponto B e considerando o sentido anti-horário como positivo:

∑ M B = 0 ⇒ F R 1 2 + x ¯ 1 + F R 2 x ¯ 2 - A y 2 = 0

A y = w 2 + 0,667 + 2 w 1 2 = 2,333 w

Fazendo o somatório de forças em y :

∑ F y = 0 ⇒ A y + B y - F R 1 - F R 2 = 0

B y = w + 2 w - 2 , 333 w = 0,667 w

Passo 3

Após determinar as reações, como a força é descontínua no ponto A , deve-se analisar as regiões antes e depois deste ponto.

Logo, fazendo o DCL da seção 0 ≤ x < 2 m :

Visto que neste intervalo o comprimento da base do carregamento triangular não é total, o valor da sua carga muda. Então, através de semelhança de triângulos tem-se:

w 2 = w ' x ∴ w ' = w x 2

Para determinar o esforço cortante aplica-se o somatório de forças no eixo vertical:

∑ F y = 0 ⇒ - F R 1 ' - V 1 = 0

V 1 x = - 1 2 w ' x = - 1 2 w x 2 x

V 1 x = - w x 2 4

E para o momento fletor aplica-se o princípio dos momentos no ponto em que o eixo foi seccionado:

∑ M x = 0 ⇒ M 1 + F R 1 ' x 3 = 0

M 1 x = - 1 2 w x 2 x x 3

M 1 x = - w x 3 12

Para inserir estas informações nos diagramas de esforço, deve-se encontrar os valores nos extremos do intervalo. Logo:

V 1 0 = - w 0 2 4 = 0

M 1 0 = - w 0 3 12 = 0

V 1 2 - = - w 2 2 4 = - w

M 1 2 - = - w 2 3 12 = - 0,667 w

Passo 4

Em seguida, faz-se a análise da região após o ponto A e o DCL obtido será:

Tal intervalo analisado é 2 m < x ≤ 4 m .

Para determinar o esforço cortante aplica-se o somatório de forças no eixo vertical:

∑ F y = 0 ⇒ V 2 + B y - F ' R 2 = 0

V 2 x = w 4 - x - 0,667 w

V 2 x = - w x + 3,333 w

E para o momento fletor aplica-se o princípio dos momentos no ponto em que o eixo foi seccionado:

∑ M x = 0 ⇒ B y 4 - x - M 2 - F ' R 2 4 - x 2 = 0

M 2 x = 0,667 w 4 - x - w 4 - x 4 - x 2

M 2 x = - 4 - x 2 2 w + 0,667 4 - x w

Para inserir estas informações nos diagramas de esforço, deve-se encontrar os valores nos extremos do intervalo. Logo:

V 2 2 + = - w 2 + 3,333 w = 1,333 w

M 2 2 + = - 4 - 2 2 2 w + 0,667 4 - 2 w = - 0,66 7 w

V 2 4 = - w 4 + 3,333 w = - 0,667 w

M 2 4 = - 4 - 4 2 2 w + 0,667 4 - 4 w = 0

Dentro deste intervalo, um ponto de interesse é no qual o esforço cortante se torna nulo. Logo:

V = 0 = - w x + 3,333 w

x = 3,333 w w

E obtém-se:

x = 3,333 m

Portanto:

M 3,333 = - 4 - 3,333 2 2 w + 0,667 4 - 3,333 w

M 3,333 = 0,222 w

Passo 5

Portanto, inserindo os resultados do esforço cortante obtidos no diagrama tem-se:

E para os resultados do momento fletor:

Passo 6

Através dos diagramas de esforços, pode-se notar que o valor máximo, em módulo, para o esforço cortante e para o momento fletor ocorrem, respectivamente, nos pontos x = 2 + m e x = 2 m .

Então, com isso, o esforço cortante máximo será dado por:

V m á x 2 + m = 1,333 w

E o momento fletor máximo:

M m á x 2 m = - 0,667 w

Comparando com os valores suportados pela viga, obtém-se:

V m á x = 1,333 w = 4 0   k N

w = 4 0 1 , 333 = 30   k N / m

E para o momento fletor:

M m á x = - 0,667 w = 5 0   k N ∙ m

w 0 = 5 0 - 0,66 7 = - 74,96   k N / m

Para garantir que a viga seja capaz de suportar as cargas distribuídas é escolhido o valor com menor intensidade. Logo:

w 0 = 30   k N / m

Resposta

w 0 = 30   k N / m

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