Enunciado

9.87 Determine a área da superfície do sólido formado girando-se a área sombreada 360 ° em torno do eixo z .

Passo 1

Para gerarmos essa superfície devemos fazer a revolução de 8 segmentos de reta:

A fórmula para determinar a área superficial é:

A = θ ∑ r - L

Onde θ é o ângulo de revolução em radianos, nesse caso 2 π

r - é a distância perpendicular do eixo de revolução, nesse caso o eixo z , ao centroide da curva de geração. O centroide de uma segmento de reta fica sempre no seu centro, então é fica fácil de calcularmos:

r - l a r a n j a = 1,25 + 0,75 2 = 1,625

r - v e r m e l h o = 2

r - r o s a = 1,25 + 0,75 2 = 1,625

r - r o x o = 1,25

r - a z u l = 0,75 + 0,5 2 = 1

r - p r e t o = 0,75

r - v e r d e = 0,75 + 0,5 2 = 1

r - a m a r e l o = 1,25

E L é o comprimento da curva de geração, o desenho nos mostra o tamanho de todas as retas:

L l a r a n j a = 0,75

L v e r m e l h o = 6

L r o s a = 0,75

L r o x o = 3

L a z u l = 0,5

L p r e t o = 1

L v e r d e = 0,5

L a m a r e l o = 2

Passo 2

Agora só multiplicar os valores de cada segmento de reta e somalos:

A = 2 π 1,625 ⋅ 0,75 + 2 ⋅ 6 + 1,625 ⋅ 0,75 + 1,25 ⋅ 3 + 1 ⋅ 0,5 + 0,75 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0,5 + 1,25 ⋅ 2

A = 2 π 22,4375

A = 141   m 2

Resposta

A = 141   m 2

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