Enunciado

O eixo é feito de aço e tem diâmetro de 15 mm. Determine sua deflexão máxima. Os mancais em A e B exercem somente reações verticais sobre o eixo. E a ç o = 200   G P A

Passo 1

Dados da questão: E a ç o = 200   G P a ,   d = 15   m m

A questão pede: v m a x = ?

Estratégia de resolução: Vamos calcular equações para a inclinação e a linha elástica. Depois, utilizamos os dados da questão para calcular o produto I E . Com esses dados podemos determinar o ponto em que a equação da inclinação é igual a zero. Neste ponto a deflexão é máxima.

Passo 2

Começamos pelas reações de apoio:

∑ M B = 0 ⇒ - R A ⋅ 700 + 250 ⋅ 500 + 80 ⋅ 200 = 0

R A = 201,43   N

∑ F Y = 0 ⇒ R A - 250 - 80 + R B = 0

R B = 128,57   N

Passo 3

Vamos utilizar a tabela 12.2 para gerar uma equação de descontinuidade para o momento fletor.

M x = 201,43 < x - 0 > - 250 < x - 200 > - 80 < x - 500 > + 128,57 < x - 700 >

Para simplificar a expressão, podemos ignorar as forçar pontuais que ficam na extremidade final da viga. Tambem podemos dizer que < x - 0 > n = x n , desde que n >

M x = 201,43 x - 250 < x - 200 > - 80 < x - 500 >

Passo 4

Agora vamos integrar a equação do momento para conseguir a equação da inclinação

E I ⋅ θ = ∫ M x d x

E I ⋅ θ = ∫ 201,43 x - 250 < x - 200 > - 80 < x - 500 > d x

Obtemos:

E I ⋅ θ = 100,715 x 2 - 125 < x - 200 > 2 - 40 < x - 500 > 2 + c 1

Passo 5

Agora vamos integrar a equação da inclinação para obter a equação da linha elástica

E I ⋅ v = ∫ θ x d x

E I v = ∫ 100,715 x 2 - 125 < x - 200 > 2 - 40 < x - 500 > 2 + c 1 d x

Obtemos:

E I v = 33,572 x 3 - 41,667 < x - 200 > 3 - 13,33 < x - 500 > 3 + c 1 x + c 2

Passo 6

Vamos utilizar as condições de contorno para determinar as constantes.

O ponto A é um rolete. A condição de contorno neste rolete é:

x A = 0

v A = 0

Aplicando na equação da linha elástica

E I v A = 33,572 x A 3 - 41,667 < x A - 200 > 3 - 13,33 < x A - 500 > 3 + c 1 x A + c 2

E I ⋅ 0 = 33,572 ⋅ 0 - 41,667 ⋅ 0 - 13,33 ⋅ 0 + c 1 ⋅ 0 + c 2

c 2 = 0

Passo 7

O ponto B também é um rolete. A condição de contorno neste rolete é:

x B = 700   m m

v B = 0

Aplicando na equação da linha elástica

E I v B = 33,572 x B 3 - 41,667 < x B - 200 > 3 - 13,33 < x B - 500 > 3 + c 1 x B

E I ⋅ 0 = 33,572 ⋅ 700 3 - 41,667 ⋅ 500 3 - 13,33 ⋅ 200 3 + c 1 ⋅ 70 0 + c 2

c 1 = - 8 , 857 ⋅ 10 6   N ⋅ m m 2  

Passo 8

Pronto! Agora temos as equações da inclinação e da linha elástica:

E I ⋅ θ = 100,715 x 2 - 125 < x - 200 > 2 - 40 < x - 500 > 2 - 8 , 857 ⋅ 10 6

E I v = 33,572 x 3 - 41,667 < x - 200 > 3 - 13,33 < x - 500 > 3 - 8 , 857 ⋅ 10 6 ⋅ x

Passo 9

Para obter valores para essas equações precisamos calcular o momento de inércia. A questão nos diz que é um eixo de seção circular de 15 mm de diâmetro. Então o momento de inércia é:

I = π d 4 64

I = π ⋅ 15 4 64

I = 2485,05   m m 4

Assim o produto I E é:

I E = 2 4 85,05   m m 4 ⋅ 200   G P a

I E = 2 4 85,05   m m 4 ⋅ 200 k N m m 2

I E = 4,97 ⋅ 10 8 ⋅ N ⋅ m m 2

Passo 10

Agora vamos descobrir em que ponto a inclinação é zero.

E I ⋅ θ = 100,715 x 2 - 125 < x - 200 > 2 - 40 < x - 500 > 2 - 8 , 857 ⋅ 10 6

Vamos aproveitar essa equação para plotar os pontos chaves desse gráfico:

Pelos pontos chaves, sabemos que o gráfico da inclinação atinge o zero em algum ponto entre 200mm e 500mm. Então vamos procurar nessa faixa de valores:

E I ⋅ θ = 0

100,715 x 2 - 125 < x - 200 > 2 - 8 , 857 ⋅ 10 6 = 0

Como estamos trabalhando em uma faixa restrita de valores, o colchete de Macauley pode ser agora tratado como parêntesis.

100,715 x 2 - 125 ( x - 200 ) 2 - 8 , 857 ⋅ 10 6 = 0

Agora basta resolver a expressão:

100,715 x 2 - 125 ( x 2 - 400 x + 40000 ) - 8 , 857 ⋅ 10 6 = 0

100,715 x 2 - 125 x 2 + 50000 x - 5 ⋅ 10 6 - 8 , 857 ⋅ 10 6 = 0

- 24,285 x 2 + 50000 x - 13 , 857 ⋅ 10 6 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau:

x 1 = 330,578   m m

x 2 = 1728,31   m m

O segundo valor está fora da viga, então desconsideramos! Então o ponto de máxima deflexão é:

x m a x = 330,578

Passo 11

Vamos finalizar a questão aplicando o valor do ponto máximo na equação da linha elástica:

E I v = 33,572 x 3 - 41,667 < x - 200 > 3 - 13,33 < x - 500 > 3 - 8 , 857 ⋅ 10 6 ⋅ x

x m a x = 330,578

Então:

E I v = 33,572 ⋅ 330,578 3 - 41,667 ⋅ 130,578 3 - 8 , 857 ⋅ 10 6 ⋅ 330,578

E I v = - 18 , 07 ⋅ 10 8   N ⋅ m m 3

Aplicando o valorde E I :

v m a x = - 18 , 07 ⋅ 10 8   N ⋅ m m 3 4 , 9 7 ⋅ 10 8

v m a x = - 3 . 64   m m

Resposta

v m a x = - 3.64   m m

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Determine a reação no apoio móvel e desenhe o diagrama de momento fletor para a viga e o carregamento mostrados na figura.
Determine a reação em A e desenhe o diagrama de momento fletor para a viga e o carregamento mostrados nas figuras.
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine ( a ) a reação em C , ( b ) a deflexão no ponto B . Utilize E = 29 × 10 6p s i .