Enunciado

Para a viga uniforme em balanço e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a inclinação e (b) a deflexão no ponto A. Use E = 200 GPa.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal! Vamos começar esse exercício separando o carregamento em duas partes, uma com o carregamento distribuído e a outra com a força localizada, onde teremos:

Esse será nosso diagrama 1. Agora para o carregamento distribuído, temos:

Esse será o nosso diagrama 2. Agora vamos fazer os cálculos para o primeiro diagrama. Começando aplicando o momento em relação ao ponto C, teremos:

+ ↺ ∑ M C = 0

- 18 2,2 - M C = 0 → M C = - 39,6   k N . m

Agora, aplicando o somatório de forças na direção y, teremos:

+ ↑ ∑ F y = 0

18 + C y = 0 → C y = - 18   k N

Então, com esses valores, vamos desenhar o DCL para uma seção de comprimento x < 2,2   m da viga, onde teremos:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto D para encontrar uma expressão para o momento na viga, onde teremos:

+ ↺ ∑ M D = 0

- M - M C + C y x = 0 → M = 39,6 - 18 x

Essa será a equação para o momento para 0 < x < 2,2   m , entre 2,2   m < x < 2,7   m o momento resultante será zero.

Passo 3

Agora vamos fazer os cálculos para o segundo diagrama. Começando aplicando o momento em relação ao ponto C, teremos:

+ ↺ ∑ M C = 0

26 2,7 2,7 2 - M C = 0 → M C = 94,77   k N . m

Agora, aplicando o somatório de forças na direção y, teremos:

+ ↑ ∑ F y = 0

- 26 2,7 + C y = 0 → C y = 70,2   k N

Então, com esses valores, vamos desenhar o DCL para uma seção de comprimento x < 2,7   m da viga, só que agora começando da esquerda para direita, onde teremos:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto D para encontrar uma expressão para o momento na viga, onde teremos:

+ ↺ ∑ M D = 0

M - 26 x x 2 = 0 → M = - 13 x 2

Então, o momento na extremidade C será:

M = - 13 2,7 2 → M = - 189,54   k N . m

Então agora podemos desenhar nosso diagrama M / E I , que será dado por:

Passo 4

Beleza! Agora vamos calcular o termo E I , pois vamos precisar dele. Para isso, vamos até o apêndice C pegar o momento de inércia da viga W250 X 28,4, que será:

I = 40,1.10 6   m m 4 = 40,1.10 - 6   m 4

Então, nossa parcela E I será:

E I = 200.10 9 40,1.10 - 6 → E I = 8,02.10 6   N . m 2

Agora nós vamos calcular a área sob as duas curvas e a localização do centroide dessas áreas. Começando pela área superior, que chamaremos de área 1, teremos:

A 1 = 1 2 M m a x E I 2,2 = 1 2 39,6.10 3 8,02.10 6 2,2

A 1 = 5,4314.10 - 3

E o seu centroide, contabilizando a partir do ponto B, será:

x - 1 = 1 3 2,2 → x - 1 = 0,7333   m

Agora, com o auxílio da Fig. 9.31 vista nesse capítulo, vamos calcular a área e o centroide da área 2, então, como temos um triângulo com hipotenusa parabólica, teremos:

A 2 = b h 3 = 2,7 - 189,54.10 3 8,02.10 6 3 → A 2 = - 21,27.10 - 3

E o centroide será dado por:

x - 2 = b 4 = 2,7 4 → x - = 0,675   m

Tá legal! Agora podemos calcular a inclinação no ponto A, sabendo que a inclinação entre dois pontos é representada pela área sob a curva do diagrama M / E I , então a inclinação do ponto A será:

θ A / C = θ A - θ C = A 1 + A 2

Substituindo os valores encontrados para as áreas, teremos:

θ A - 0 = 5,4314.10 - 3 + - 21,27.10 - 3 → θ A = - 15,84.10 - 3   r a d

Passo 5

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:

t A / C = A A C x -

Em que A A C é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto A. Então, utilizando as duas áreas que temos no nosso diagrama M / E I , teremos:

t A - t C = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 = 5,4314.10 - 3 2,7 - 0,733 + ( - 21,27.10 - 3 ) ( 2,7 - 0,675 )

t A = - 32,39.10 - 3   m

Shooow!! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a : θ A = - 15,84.10 - 3   r a d

b : t A = - 32,39.10 - 3   m

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