Enunciado

O eixo é feito de um material elástico perfeitamente plástico como mostra a figura. Faça um gráfico da distribuição da tensão de cisalhamento que age ao longo de uma linha radial se o eixo for submetido a um torque T=2 kNm. Qual será a distribuição da tensão residual no eixo quando o torque for removido.

Passo 1

Dados da questão: r = 20 m m ,   T = 2   k N ⋅ m ,   τ e = 150   M P a ,   γ e = 0,001875   r a d

A questão pede a distribuição de tensão residual sobre o eixo. Para calcular isso primeiro definimos a distribuição de tensão que gera a torção plástica, e a distribuição de tensão de recuperação elástica.

Estratégia de resolução:

  1. Calcular o momento de inércia.
  2. Definir qual o tipo de deformação (elástica ou elástico-plástica ou plástica)
  3. Desenhar a distribuição de tensão que gera a torção plástica.
  4. Calcular a tensão de recuperação.
  5. Desenhar a distribuição de tensão elástica.
  6. Desenhar a distribuição de tensão residual.

Passo 2

O momento de inércia da seção transversal

J = π ⋅ r 4 2 = π ⋅ 20 4 2 ⇒ J = 8 π ⋅ 10 - 8   m 4

Passo 3

Vamos supor que a deformação é elástica. Qual o maior torque que pode atuar?

τ e = T E r J

T E = τ e J r = 150 ⋅ 10 6   P a ⋅ 8 π ⋅ 10 - 8   m 4 0,020   m

T E = 1884,96   N m

O torque que a questão nos fornece é maior. Então o regime não é elástico!

Mas qual é o torque mínimo para obter um regime totalmente plástico? Podemos calcular isso com a equação 5.27

T P = 2 π 3 τ e r 3 = 2 π 3 ⋅ 150 ⋅ 10 6   P a ⋅ 0,020   m 3 ⇒ T P = 2513,27   N m

O torque plástico também é maior que o torque fornecido na questão. Isso quer dizer que o eixo está em regime elástico-plástico. Então, vamos definir qual é o raio do núcleo elástico com a Equação 5.26

T = π 6 τ e ⋅ ( 4 r 3 - ρ e 3 )

Isolando o raio elástico:

ρ e = 4 r 3 - 6 T π ⋅ τ e 3

Substituindo os valores:

ρ e = 4 ⋅ ( 0,02   m ) 3 - 6 ⋅ 2000   N   m   π ⋅ 150 ⋅ 10 6   P a 3

ρ e = 0,0187   m

ρ e = 18,7   m m

Passo 4

Para saber o comportamento da tensão na seção transversal, devemos olhar pro gráfico tensão-deformação. Observe que na zona de comportamento elástico a tensão cresce de maneira linear. Já na região plástica a tensão se mantém sempre constante.

O comportamento da tensão na seção transversal é semelhante. No núcleo elástico a tensão cresce até atingir a tensão de escoamento. Na zona plástica a tensão se mantém constante e igual a tensão de escoamento.

Passo 5

Uma vez que o torque é aliviado, a energia elástica acumulada é liberada “destorcendo” o eixo, gerando uma recuperação em parte da deformação. O torque de destorce o eixo é igual ao torque original, mas em sentido contrário.

O comportamento de “destorção” é elástico, então a tensão máxima que destorce o eixo é calculada pela equação do torque:

τ m a x = T r J

τ m a x = 2000   N m ⋅ 0,02   m 8 π ⋅ 10 - 8   m 4

τ m a x = 159,15   M P a

É interessante calcular a tensão que atua no limiar do núcleo elástico:

τ ρ = T ρ e J

τ ρ = 2000   N m ⋅ 0,0187   m 8 π ⋅ 10 - 8   m 4

τ ρ = 148,81   M P a

Passo 6

Ao longo da seção transversal, a tensão de recuperação tem comportamento elástico ao longo de toda a seção transversal:

Passo 7

A distribuição de tensão residual é uma soma vetorial das duas distribuições de tensões.

A tensão na extremidade do núcleo elástico é:

τ n u c l e o = 148,81 - 150 = - 1,19   M P a

A tensão na parte mais exterior do eixo:                   τ r = 159,15 - 150 =       9,15   M P a  

Resposta

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