Enunciado

O eixo maciço de 32   mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Se o eixo estiver apoiado em mancais lisos em A e B , que não resistem a torque, determine a tensão de cisalhamento desenvolvida no eixo nos pontos C e D . Indique a tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos.

Passo 1

Vários torques são aplicados em um eixo. Os mancais em que o eixo está apoiado não resistem a torque, então não geram torque!

Queremos descobrir a tensão em dois pontos: τ C em C e τ D em D .

Sabemos que a fórmula da torção para cisalhamento é

τ = T   r J

Características do eixo:

  • Raio do eixo: r = 32   mm   / 2 = 16   mm .
  • Momento polar de inércia: J = π r 4 / 2 = 102943,7081   mm 4 .

O J é constante pro eixo todo. Os pontos C e D estão na borda do eixo, então é pra usar r = 16   mm mesmo. O que nos falta saber é a torção T C e T D nesses pontos!

Depois disso, a questão pede que desenhos a tensão em um elemento de volume (um cubinho!) onde esses pontos estão.

Passo 2

Precisamos descobrir qual é o torque acontecendo em cada parte do eixo. Isso é tranquilo!

Primeiro, escolha um sentido do torque pra ser positivo. Vamos escolher o sentido E a B para isso. Aponte seu dedão direito nesse sentido. Se o torque seguir seus dedos quando fecham, é positivo. Se não seguir, negativo

Aí quebre o eixo em seções. Vamos por partes, calculando o torque. Lembre-se que os mancais não resistem a torção nessa questão!

  • Torque na seção E até D : + 185   Nm .
  • Torque na seção D até o final: + 185 - 260 = - 75   Nm .

Show, nossa conta fechou com o + 75   Nm do final da figura (equilíbrio!), então está tudo certo.

Agora identifique quem é quem. O ponto C está entre E e D , e o ponto B está depois de D .

T C = 185   Nm

T D = 75   Nm

Passo 3

Agora que temos os torques, vamos usar a fórmula para achar a tensão. Primeiro a tensão τ C em C :

τ = T   r J         →         | τ C | = | 185   N m |   ⋅ 16   mm 102943,7081   mm 4

| τ C | = 28,75   MPa

Agora a tensão τ D no ponto D :

= T   r J         →         | τ C | = | 75   N m |   ⋅ 16   mm 102943,7081   mm 4

| τ C | = 11,66   MPa

Beleza, mas e os sinais? Essas tensões estão apontando pra onde? Tudo depende de como você corta a seção! Vamos com calma.

Passo 4

Vamos olhar uma seção que vai de E até C . Seguindo a nossa convenção (Passo 2), temos + 185   Nm aplicado em E , e aí o torque interno em C tem que ser - 185   Nm para equilibrar! Negativo!

Se é negativo, aponte seu dedão para E e feche os dedos. Veja o sentido que seus dedos apontam para como o ponto C está no eixo! Vai ser a seta vermelha na figura.

A face onde está a seta vermelha é a face mais externa do final da seção que estamos imaginando! Para achar o sentido das outras setas é fácil, só pensar no equilíbrio em cada direção!

Passo 5

Agora vamos ver uma seção que vai de lááá da ponta do eixo passando por B até D . Seguindo a nossa convenção (Passo 2), temos + 75   Nm aplicado em lá no final, então o torque interno em D tem que ser - 75   Nm para equilibrar! Negativo de novo!

Se é negativo, aponte seu dedão para E e feche os dedos. Veja o sentido que seus dedos apontam para como o ponto D está no eixo! Vai ser a seta vermelha na figura.

A face onde está a seta vermelha é a face mais externa para o ponto D segundo a seção que estamos imaginando! Para achar o sentido das outras setas é fácil, só pensar no equilíbrio em cada direção!

Resposta

Tensão em C : τ C = 28,75   MPa .

Tensão em D : τ D = - 11,66   MPa .

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