Enunciado

O eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50   mm e tensão de cisalhamento admissível τ a d m = 6   MPa . Determine o maior torque T 1 que pode ser aplicado ao eixo se ele também estiver sujeito a outros carregamentos de torção. Exige-se que T 1 aja na direção mostrada. Determine também a tensão de cisalhamento máxima no interior das regiões C D e D E .

Passo 1

Vários torques são aplicados em um eixo preso a uma parede. A tensão de cisalhamento no eixo não pode ultrapassar τ a d m = 6   MPa .

Sabemos que a fórmula da torção para cisalhamento é

τ = T   r J

Características do eixo:

  • Raio: r = 50 / 2 = 25   mm .
  • Momento polar de inércia: J = π r 4 / 2 = 613592,3152   mm 4 .

A questão pede o maior valor que T 1 pode ter sem atingirmos uma tensão maior que a admissível! O sentido de T 1 já está definido!

Depois, queremos saber qual é a tensão de cisalhamento máxima nas regiões C D e D E . Uma coisa de cada vez!

Passo 2

Como temos tensão máxima, raio do eixo e J , então pela fórmula da torção nós podemos já achar qual é o torque máximo T M que o eixo pode aguentar em qualquer seção transversal:

τ m a x = T   r J         →         6   MPa = T M ⋅ 25   mm 613592,3152   mm 4

T M = 147,26   Nm

Não podemos ter nenhum torque maior que T M em qualquer seção transversal! Vamos usar isso para limitar o valor de T 1 . Importante: esse valor está em módulo!

Passo 3

Precisamos descobrir qual é o torque acontecendo em cada parte do eixo. Isso é tranquilo!

Primeiro, escolha um sentido do torque pra ser positivo. Vamos escolher o sentido A a E para isso. Aponte seu dedão direito nesse sentido. Se o torque seguir seus dedos quando fecham, é positivo. Se não seguir, negativo

Aí quebre o eixo em seções. Vamos por partes, calculando o torque.

  • Torque na seção A até B : - 68   Nm .
  • Torque na seção B até C: - 68 + T 1   Nm .
  • Torque na seção C até D: - 68 + T 1 - 49 = - 117 + T 1   Nm .
  • Torque na seção D até E : - 117 + T 1 - 35 = - 152 + T 1   Nm .

E aí a parede resiste com um torque de - - 152 + T 1 = + 152 - T 1   Nm para equilibrar tudo!

Agora, para limitar T 1 usando T M , temos que ver a região mais crítica. Vai ser a seção B até C :

- 68 + T 1 = T M

T 1 = 147,26 + 68 = 215,26   Nm

Show, esse é o maior valor que T 1 pode ter. Agora vamos achar as tensões máximas em C D e D E .

Passo 4

Em C D , temos torque T = - 117 + T 1 = 98,26   Nm . Para achar a tensão máxima, é só jogar na fórmula!

τ m a x = T   r J         →         τ m a x C D = 98,26   N m   ⋅ 25   mm 613592,3152   mm 4

τ m a x C D = 4,00   MPa

E para D E , temos torque T = - 152 + T 1 = 63,26   Nm . Tasca fórmula de novo!

τ m a x = T   r J         →         τ m a x D E = 63,26   N m   ⋅ 25   mm 613592,3152   mm 4

τ m a x D E = 2,58   MPa

Resposta

Maior valor possível para T 1 : T 1 = 215,26   Nm .

Tensão máxima em C D : τ m a x C D = 4,00   MPa .

Tensão máxima em D E : τ m a x D E = 2,58   MPa .

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