Enunciado

O eixo maciço de aço A C tem diâmetro de 25   mm e está apoiado nos mancais lisos em D e E . O eixo está acoplado a um motor em C , que transmite 3   kW de potência ao eixo quando está girando a 50   rev/s . Se as engrenagens A e B absorverem 1   kW e 2   kW , respectivamente, determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo interior das regiões A B e B C . O eixo é livre para girar em seus mancais de apoio D e E .

Passo 1

Um eixo é acionado por um motor em C , transmitindo 3   kW de potência sob frequência 50   rev/ s . Essa potência é dividida para engrenagens em A e B . Os mancais em D e E não resistem à torção.

Queremos saber a tensão máxima de cisalhamento em A B , τ M A B , e em B C , τ M B C . Vamos precisar da fórmula da torção:

τ = T   r J

Características do eixo:

  • Raio: r = 12,5   mm
  • Momento polar de inércia: J = π r 4 / 2 = 38349,5197   mm 4   .

Em A , P A = 1   kW de potência é transmitido. A engrenagem em B recebe o restante, P B = 2   kW .

Precisamos determinar o torque interno nas seções A B e B C . Aí sim podemos achar τ M A B e τ M B C .

Passo 2

Primeiro é bom entender o que os torques estão fazendo. O motor está fazendo o eixo girar segundo um torque T C . Quando o eixo tentar girar as engrenagens, elas resistem! Então as engrenagens forçam o eixo com torques T A e T B . Esses torques se equilibram!

Beleza, agora que sabemos o que estamos fazendo, podemos tratar de fazer as contas sem medo!

Na transmissão de potência, sabemos que o torque está relacionado com a frequência da seguinte maneira:

P = 2 π T f

O eixo todo gira sob uma frequência de f = 50   rev/s . Podemos calcular o torque motor T C sabendo que a potência total transmitida é 3   kW , como a questão diz.

3   kW = 2 π T C ⋅ 50   rev/s

T C = 9,549   Nm

Esse é o torque que vai forçar a seção B C ! Opa, metade do caminho andado.

Vamos ver agora para a seção A B . Como a engrenagem em A absorve P A = 1   kW , o torque T A   desenvolvido pela engrenagem no eixo é

1   kW = 2 π T A ⋅ 50   rev/s

T A = 3,183   Nm

Show, esse é o torque que força a seção A B . Temos tudo que precisamos.

Passo 3

Só jogar na fórmula da torção! Primeiro para a seção A B :

τ = T   r J       →         τ M A B = 3,183   Nm ⋅   12,5   mm   38349,5197   mm 4

τ M A B = 1,038   MPa

E agora para a seção B C :

τ = T   r J       →         τ M B C = 9,549   Nm ⋅   12,5   mm   38349,5197   mm 4

τ M B C = 3,112   MPa

Resposta

Tensão de cisalhamento máxima na seção A B : τ M A B = 1,038   MPa .

Tensão de cisalhamento máxima na seção A B : τ M B C = 3,112   MPa .

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