Enunciado

O projeto prevê que o eixo de transmissão A B de um automóvel será um tubo de parede fina. O motor transmite 125   kW quando o eixo está girando 1500   rev/minuto . Determine a espessura mínima da parede do eixo se o diâmetro externo for 62,5   mm . A tensão de cisalhamento admissível é τ a d m = 50   MPa .

Passo 1

Fala! Não se assusta com a história do carro. O que a gente tem aqui é apenas um eixo que transmite uma potência 125   kW sob frequência 1500   rev/minuto e queremos encontrar a espessura da parede desse eixo.

A tensão de cisalhamento no eixo não pode ultrapassar τ a d m = 50   MPa . E a gente quer saber qual é a expessura desse tubo que suporta essa potência sem ultrapassar essa tensão.

Vamos precisar da fórmula da torção para ter uma expressão para a tensão aplicada nesse cara e comparar com a tensão máxima:

τ = T   r J

Características do eixo:

  • Raio externo: r e = 62,5 / 2 = 31,25   mm .
  • Espessura: e . (Desconhecido!)
  • Raio interno: r i = r e - e .
  • Momento polar de inércia: J = π ( r e 4 - r i 4 ) / 2 .

Para ajudar nas contas, podemos primeiro achar r i (Raio interno) necessário e depois calcular e , a expessura:

e = r e - r i

Primeiro precisamos descobrir qual é o torque atuando no eixo. Bora!

Passo 2

Cara, repara que ele nos deu uma potência e uma frequência, isso é uma dica para gente lembrar de transmissão de potência.

Na transmissão de potência, sabemos que o torque está relacionado com a frequência da seguinte maneira:

P = 2 π T f

Então podemos já achar o torque atuando nesse eixo:

125   k W = 2 π T 1500 60   rev/s →   125 10 3 = 2 π T 1500 60  

Repara que a gente dividiu nossa frequência por 60 para sairmos de r e v / m i n e irmos para r e v / s , unidade que pode ser usada na nossa fórmulinha.

Isolando T , encontramos:

T = 795,77   Nm

Passo 3

Agora vamos ver qual raio interno r i pode aguentar a tensão admissível segundo esse torque.

A tensão máxima vai ocorrer na distância r e = 31,25   mm . Podemos usar a fórmula da torção para achar que momento polar de inércia o eixo deve ter:

τ a d m = τ = T   r J       →         5 0 × 10 6 = 795,77   ×   31,25 × 10 - 3 J

J = 497356,25   mm 4

Agora sim, o tal raio interno:

J = π r e 4 - r i 4 2     →       r i 4 = r e 4 - 2 J π = r i 4 = 31,25 4 - 2 × 497356,25 π

r i = 28,2516   mm

Passo 4

Moleza! Só mais uma continha para achar a espessura:

e = r e - r i       →   e = 31,25 - 28,2516 →       e = 2,998   mm

Resposta

Espessura: e = 2,998   mm .

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