Enunciado

Um torque T aplicado a uma barra maciça feita de um material elastoplástico é aumentado até que a barra se torne completamente plástica, e então é removida:

  1. Mostrar que a distribuição de tensões residuais são as representadas na figura;
  2. Determinar a intensidade do torque, devido as tensões atuantes na torção da barra localizada dentro de um círculo de raio c 0 .

Passo 1

Sabemos que o nosso desenho pode ser pensado da seguinte maneira:

  • Temos as tensões quando a estrutura é carregada:
  • Temos as tensões quando a estrutura é descarregada:

Juntando os dois teremos que:

Passo 2

Fazendo o cálculo depois de carregarmos (que é o primeiro círculo do nosso desenho ali em cima), temos que a fórmula para cálculo do torque é dado pela seguinte equação.

T = 2 3 π c 3 τ e 1 - 1 4 ρ e c 3

E veja que τ e = c o n s t a n t e   ,ou seja, podemos afirmar que o núcleo elástico é dado por:

ρ e = 0  

Sendo assim teremos que:

T = 2 3 π c 3 τ e

Descarregando teremos que a tensão cisalhante será calculada da maneira que já conhecemos, sendo assim teremos que:

τ ' = T c J = T ρ π c 4 2 = 2 T ρ π c 4

E já sabemos qual a fórmula do nosso torque, se substituirmos, teremos que:

τ ' = 2 T ρ π c 4

τ ' = 2 ( 2 3 π c 3 τ e ) ρ π c 4 = 4 3 τ e ρ c

Sendo assim temos que a tensão residual é dada por:

τ r e s i d u a l = τ e - τ '

Supondo que ρ = c teremos que:

τ r e s i d u a l = τ e - 4 3 τ e = - 1 3 τ e

Passo 3

Definindo por um raio de tamanho c 0 , podemos fazer a nossa equação da seguinte maneira, calculando o nosso torque pela seguinte integral:

T = 2 π ∫ 0 c 0 ρ 2 τ   d ρ

Calculando a nossa tensão residual total teremos que, usando não mais o macete ρ = c .

τ r e s i d u a l = τ e - τ '

τ r e s i d u a l = τ e - 4 3 τ e ρ c

τ r e s i d u a l = τ e 1 - 4 3 ρ c

Substituindo na nossa integral teremos que:

T = 2 π ∫ 0 c 0 ρ 2 τ e 1 - 4 3 ρ c   d ρ

Colocando o c 0 em função do C, teremos que:

Considerando a tensão residual igual a zero e ρ = c 0 , teremos que:

0 = τ e 1 - 4 3 c 0 c

c 0 = 3 4 c

T = 2 π ∫ 0 3 4 c ρ 2 τ e 1 - 4 3 ρ c   d ρ

Resolvendo a nossa integral teremos que:

T = 2 π ∫ 0 3 4 c ρ 2 τ e - 4 3 ρ 3 τ e c   d ρ

T = 2 π ρ 3 τ e 3 - 1 3 ρ 4 τ e c 3 4 c 0

T = 2 π τ e 1 3 ρ 3 - 1 3 c ρ 4 3 4 c 0

Substituindo teremos que:

T = 2 π τ e 1 3 3 4 c 3 - 1 3 c 3 4 c 4

T = 2 π τ e 1 3 3 3 4 3 c 3 - 1 3 c 3 4 4 4 c 4

T = 2 π τ e 3 2 4 3 c 3 - 3 3 4 4 c 3

T = 2 π τ e c 3 9 64 - 27 256

T = 2 π τ e c 3 9   .   4 64   .   4 - 27 256

T = 2 π τ e c 3 36 256 - 27 256

T = 2 π τ e c 3 36 256 - 27 256

T = 2 π τ e c 3 9 256

T = 9 128 π τ e c 3

Resposta

T = 9 128 π τ e c 3

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