Enunciado

O elo rígido é sustentado por um pino em A , um cabo de aço B C com comprimento de 200   mm quando não alongado com área de seção transversal de 22,5   mm 2 e um bloco curto de alumínio com 50   mm de comprimento quando não carregado com área de seção transversal de 40   mm 2 . Se o elo for submetido à carga vertical mostrada na figura, determine a rotação do elo em torno do pino A . E a ç o = 200   GPa , E a l = 70   GPa .

Passo 1

Um elo em formato de “L” tem três suportes: um pino em A , um cabo de aço B C e um bloco de alumínio em D (uma barra ligando o “L” a uma parede).

Características do cabo B C :

  • Aço:   E c a b o = 200   GPa
  • Área transversal: A c a b o = 22,5   mm 2 .
  • Comprimento inicial: L c a b o = 200   mm .
  • Características do bloco em D :

  • Alumínio: E b l o c o = 70   GPa ,
  • Área transversal: A b l o c o = 40   mm 2 .
  • Comprimento inicial: L b l o c o = 50   mm .

O carregamento é uma força vertical concentrada de 450   N .

Tem suportes demais nesse elo, o papel deles é deixar o “L” fixo. Porém, quando o carregamento atuar, o “L” vai girar um pouco ao redor do pino em A , então o cabo e o bloco vão deformar (esticando e comprimindo).

Queremos o ângulo que o “L” gira, temos que ver primeiro como ele aparece.

Passo 2

O elo gira por causa do carregamento, e como ele é rígido, vai fazer o mesmo ângulo θ em todos os lugares.

Como estamos usando pequenas deformações, podemos achar o ângulo como θ = t a n ⁡ ( θ ) . Olhando no ponto B , quando esse ponto se move o cabo estica um comprimento δ c a b o , e aí temos

θ = tan ⁡ θ = δ c a b o 150   mm

Também por causa de serem pequenas deformações, pode considerar que o cabo está esticando reto, então não se preocupe com isso.

Beleza, então pra achar o ângulo temos que achar o deslocamento δ c a b o . Sabemos que pela fórmula da relação carga-deslocamento:

δ = F   L A   E

Então pra calcular isso tudo precisamos da força F B que estica o cabo!

Passo 3

Diagrama de corpo livre.

Vamos pras condições de equilíbrio. Vamos fazer o equilíbrio dos momentos no ponto A , assim as reações ali ( F A y   e     F A x ) não contribuem e não precisamos nos preocupar com esses caras. Atenção aos sinais!

∑ M A = 0 → 250 ⋅ 450 - 150 F B - 150 F D = 0

F B + F D = 750   N

Vamos precisar de mais uma equação pra achar F B

Passo 4

A outra equação vem da condição de compatibilidade. O elo gira com ângulo constante pra qualquer ponto (ele é rígido!). Então temos o mesmo ângulo perto do cabo e perto do bloco.

θ c a b o =   θ b l o c o

De novo por causa de θ = t a n ⁡ ( θ ) podemos relacionar o ângulo ao deslocamento do bloco (veja figura no Passo 2). Assim,

θ c a b o =   θ b l o c o → tan ⁡ θ c a b o =   t a n ⁡ ( θ b l o c o )   → δ c a b o 150 = δ b l o c o 150

δ c a b o =   δ b l o c o

Foi coincidência as distâncias serem iguais! Em outras questões parecidas, você tem que se preocupar com o ângulo primeiro!

Passo 5

Agora, usando a fórmula da relação carga-deslocamento:

F B   L c a b o A c a b o   E c a b o = F D   L b l o c o A b l o c o     E b l o c o

Procure por F D para podermos substituir depois:

F D = 2,4889 F B

Substitua na equação que saiu do equilíbrio dos momentos:

F B + 2,4889 F B = 750   N → F B = 214,97   N

Passo 6

Vamos voltando nas fórmulas, para poder achar o ângulo! Cuidado com as unidades.

δ c a b o = F B   L c a b o A c a b o   E c a b o

θ = δ c a b o 150   mm =   F B   L c a b o A c a b o   E c a b o ⋅ 150   mm = 214,97   N ⋅ 200   mm 22,5   mm 2 ⋅ 200   GPa ⋅ 150   mm

θ = 63,69 ⋅ 10 - 6   rad

Resposta

Ângulo: θ = 63,69 ⋅ 10 - 6   rad

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