Enunciado

As três barras de suspensão são feitas do mesmo material e têm áreas de seção transversal iguais, A . Determine a tensão normal média em cada barra se a viga rígida A C E for submetida à força P .

Passo 1

Faaaaala, querido! Tá bem?

Uma viga rígida está suspensa por três cabos de mesmo material. Não tem valores nessa questão, então vamos definir as variáveis.

Características dos cabos:

  • Módulo de elasticidade: E . (Mesmo material)
  • Comprimento inicial: L .
  • Área: A.

Temos a força P aplicada como na figura.

Até aqui, todas essas letras são pra ser consideradas conhecidas!

O que queremos é a tensão normal em cada barra. A fórmula pra tensão é

σ = F A

Sabemos as áreas, então pra achar as tensões só nos falta as forças internas em cada barra. Bora!

Passo 2

Diagrama de corpo livre:

Agora vamos pras condições de equilíbrio. Primeiro, equilíbrio de forças:

∑ F = 0 → F A + F C + F E = P

Façamos o equilíbrio de momentos ao redor do ponto C , tomando anti-horário como positivo:

∑ M C = 0 →   - d   F A + d 2  P + d   F E = 0

F A - F E = P 2

Três incógnitas e duas equações, precisamos de mais uma relação para poder continuar.

Passo 3

Bora pensar na equação de compatibilidade de deslocamento.

A força P não está agindo de forma simétrica, ela está à esquerda do centro de massa (ponto C ) da barra. Como a viga é rígida, ela não se deforma, ou seja, ACE permanece sempre reta.

Como a força atua a esquerda do centro de massa e a viga é sempre reta, maior parcela dessa força é resistida pelos cabos A e C, por isso eles se deformam mais que o cabo em E.

E como a viga não se deforma, para que haja mais deformação nos cabos da esquerda do que nos cabos da direita, ela vai ficar inclinada. Aí com isso, temos esse antes e depois da barra rígida:

Temos dois triângulos ali com um ângulo em comum. Podemos montar uma equação com os deslocamentos das barras usando a tangente do ângulo:

tan ⁡ θ = δ A - δ E 2 d =   δ C - δ E d

Lembrando da fórmulinha da relação carga-deslocamento:

δ = F   L A   E

Vamos reescrever nossa equação dos deslocamentos com ela:

δ A - δ E 2 d =   δ C - δ E d

1 2 d F A   L A   E - F E   L A   E = 1 d F C   L A   E - F E   L A   E  

A área da seção das barras A   e o comprimento delas L é o mesmo para todas das barras. O módulo de elasticidade E também é o mesmo porque as barras são feitas do mesmo material. Então podemos simplificar

F A - F E 2 d =   F C - F E d

Essa é a nossa terceira equação! Agora dá para achar as forcinhas!

Passo 4

Temos esse sistema para resolver:

F A + F C + F E = P     i

F A - F E = P 2     i i

F A - F E 2 d =   F C - F E d     i i i

Substituindo i i em i i i , achamos:

F C =   F E + P 4   i v

Substituindo essas duas relações na equação i , encontramos

F A + F C + F E = P

P 2 + F E + F E +   P 4 + F E = P

F E = P 12

Voltando em i v , a gente acha

F A - F E = P 2

  F A = 7 P 12

E substituindo isso e F E em i , temos:

F A + F C + F E = P 

F C = 4 P 12

Passo 5

Agora que sabemos as forças e a área A , é usar a fórmula da tensão:

σ = F A

Aí essa fórmula para cada valor de F   fica:

  σ A = 7 P 12 A

σ C = 4 P 12 A

σ E = P 12 A

Resposta

Tensão na barra A B : σ A = 7 P 12 A

Tensão na barra C D :

σ C = 4 P 12 A

Tensão na barra E F : σ E = P 12 A

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