Enunciado

O êmbolo de 5   k g acionado por molas é projetado para oscilar na direção vertical sob a ação das duas molas, cada umas das quais possui uma rigidez k =   1050   N / m e está sem deformação quando x =   0 . Se o embolo é liberado a partir do repouso na posição x   =   225   m m , represente graficamente a sua velocidade v em termos de x e determine v m a x e o valor correspondente de x . Assuma atrito desprezível no suporte de guia.

Passo 1

Primeiramente é necessário determinar o DC do corpo em analise, confomer a figura abaixo mostra.

A velocidade de A pode se determinada apartir da relação de energia pontencial gravitacional, elástica e cinética.

U = ∆ E C + ∆ E e l a s t + ∆ E g

Passo 2

Cada energia pode ser determinada por,

∆ E C = 1 2 m v 2

∆ E e l a s t = 1 2 k e q x 2 2 - x 1 2

∆ E g = m g h 2 - m g h 1

A energia cinética pode ser determina por

∆ E C = 1 2 m v 2 - 0 = 1 2 5 v 2 - 0  

As deformações das molas são encontradas a partir da variação da posição inicial x 1 e final x 2 . E lembrando que as duas molas estão ligadas em paralelo portanto a rigidez equivalente das molas é soma das rigidezes   k e q = k + k = 2 k .

x 1 = x d 1 - x 0

x 1 = 0,3 2 + 0,225 2 - 0,3

x 1 = 0,375   m

x 1 = x d 2 - x 0

x 1 = 0,3 2 + x 2 - 0,3

k e q = 2 k

∆ E e l a s t = 1 2 k e q x 2 2 - x 1 2

∆ E e l a s t = 1 2 2 k 0,3 2 + x 2 - 0,3 2 - 0,3 2 + 0,225 2 - 0,3 2

∆ E e l a s t i = 1050 0,3 2 + x 2 - 0,3 2 - 0,3 2 + 0,225 2 - 0,3 2

A energia elástica é determinada por,

∆ E g = m g h 2 - m g h 1

∆ E g = 5 9,81 0,225 - x - 0 = 49,05 ( 0,225 - x )

Passo 3

Com cada variação de energia encontrada é possível determina a soma

∆ U = ∆ E C + ∆ E e l a s t + ∆ E g = 0

∆ U = ∆ E C + ∆ E e l a s t + ∆ E g = 0

1 2 5 v 2 + 1050 0,3 2 + x 2 - 0,3 2 - 0,3 2 + 0,225 2 - 0,3 2 + 49,05 0,225 - x = 0

v = 2 5 - 1050 0,3 2 + x 2 - 0,3 2 - 0,3 2 + 0,225 2 - 0,3 2 - 49,05 0,225 - x

v m a x = 0,665   m / s     e m     x = 0,174   m

E,

v = 0   m / s   e m   x = 0,113948   m

Resposta

A velocidade máxima é v m a x   = 0,665   m / s     e m     x = 0,174   m .

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