Enunciado

A escora está sujeita a um cisalhamento vertical V = 130 k N . Construa um gráfico da intensidade da distribuição de tensão de cisalhamento que age na área da seção transversal e calcule a força de cisalhamento resultante desenvolvida no segmento vertical A B .

Passo 1

Fala ai galerinha bonita, tudo belejóia com vocês?

Saca só, nesse exercício aqui o enunciado nos diz que a escora está sujeito a um cisalhamento vertical V = 130   kN . Sabendo disso, o enunciado nos pede para construir um gráfico da intensidade da distribuição de tensão de cisalhamento que age na área da seção transversal e calcular a força de cisalhamento resultante desenvolvida no segmento vertical A B .

Belezoca, então podemos começar esboçando um diagrama com a força V representada como:

Primeiro vamos começar calculando o momento de inércia da seção. Depois vamos calcular as tensões sobre A, A’ e C. Com isso poderemos gerar o gráfico de tensão de cisalhamento.

Mas para definir o valor da força sobre uma região, precisamos integrar a equação 7.3 . E pra isso precisamos definir uma equação para o momento estático, e depois aplicar a integração na equação 7.3.

Passo 2

Iradoso, então calculando o momento de inércia:

I = I v e r d e + 2 I a m a r e l o

Logo:

I = 50 350 3 12 + 2 150 50 3 12

I = 181,77 × 10 6   m m 4

Passo 3

Olhe a figura abaixo. Nosso interesse é calcular os momentos estáticos no ponto A, A’ e C.

O momento estático no ponto A e A’ são o mesmo, e iguais ao demarcado em verde:

Q A = Q A ' = Q v e r d e

Q A = 150 × 50 × 25 + 75

Q A = 750000   m m 3

O momento estático no ponto C é dado pela soma da região verde e amarela:

Q C = 150 × 50 25 + 75 + 25 × 350 × 12,5

Q C = 859375   m m 3

Passo 4

Agora podemos calcular as tensões em cada ponto:

No ponto A :

τ A = V Q A I t A

τ A = 130   kN 750000   m m 3 181,77 × 10 6  m m 4 50   mm

τ A = 10,72   M pa

No ponto A’ temos um aumento da base t :

τ A ' = V Q A ' I t A '

τ A = 130   kN 750000   m m 3 181,77 × 10 6  m m 4 3 50   mm

τ A = 1,53   M pa

No ponto C temos um aumento no momento estático:

τ C = V Q C I t C

τ C = 130   kN 859375   m m 3 181,77 × 10 6  m m 4 350   mm

τ C = 1,76   MPa

Passo 5

Com as tensões calculadas podemos gerar o gráfico da tensão de cisalhamento. Já sabemos algumas coisas: a primeira é que o comportamento da tensão é uma parábola. E segundo que nas extremidades da seção a tensão é zero.

Então a tensão parte do zero no ponto B e cresce até o ponto A. No ponto A para o A’ há uma mudança na espessura da seção, gerando uma queda repentina no gráfico. Após isso o gráfico continua crescendo até atingir o centroide.

Como a seção é simétrica, após o centroide a tensão é espelhada:

Passo 6

Agora vamos calcular a força que atua sobre a aba AB. Começamos definindo uma função para o momento estático. Observe a figura, e perceba como o momento estático cresce a partir de B até atingir o ponto A. Perceba também que à medida que a área verde aumenta, o seu centroide muda de posição.

Q ( x )   = x 50 175 - x 2

Q ( x )   = 8750 x - 25 x 2

Passo 7

Bem, sabemos por definição que tensão é força sobre área. Em termos infinitesimais:

τ = d F d A

Sabemos que a tensão de cisalhamento é dada por:

V Q ( x )   I t = d F d A

Isolando d F :

d F = V Q ( x )   I t d A

Perceba que a área da seção é quadrada. Em outras palavras: d A = t d x

Substituindo o valor de Q ( x ) temos:

d F = V 8750 x - 25 x 2 I t t d x

Simplificando:

d F = V ( 8750 x - 25 x 2 )   I d x

Aplicando a integral, com os limites sendo o próprio tamanho da haste AB:

F = V I ∫ 0 150 ( 8750 x - 25 x 2 )   d x

Resolvendo:

F = V I 8750 x 2 2 - 25 x 3 3 0 150

Substituindo os valores:

F = 130   k N 181,77 × 10 6   m m 4 8750 ( 150   mm ) 2 2 - 25 ( 150   mm ) 3 3

O resultado é:

F = 50,29   kN

Resposta

F = 50,29   kN

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Uma coluna é fabricada aparafusando-se firmemente dois perfis laminados C 250 x 22,8 a duas placas, como mostrado. Determinar a tensão de cisalhamento no ponto a , causada por uma força cortante de 12
Uma coluna é fabricada aparafusando-se firmemente dois perfis laminados C 250 x 22,8 a duas placas, como mostrado. Determinar a tensão de cisalhamento no ponto b , causada por uma força cortante de 12
Resolver o P r o b . 5.14 , considerando que a carga vertical de 120k N é removida.