Enunciado

A esfera homogênea de massa m e raio r é projetada ao longo da inclinação de ângulo θ com uma velocidade inicial v o e sem velocidade angular ( ω o = 0 ) . Se o coeficiente de atrito dinâmico é μ k , determine o tempo de duração t do período de deslizamento. Além disso, determine a velocidade v do centro de massa G e a velocidade angular ω no final do período de deslizamento.

Passo 1

No desenho acima as forças que agem sobre a esfera foram explicitadas. Por geometria é possível concluir que

N = m g c o s θ

Sabemos que

∫ 0 t ∑ F e x t x d t = m ( v x - v x o )

Assim, temos

- μ k m g c o s θ + m g s e n θ t = m ( v - v o )

Mas sabemos também que

∫ 0 t ∑ M g d t = I - ω - ω o

De onde tiramos que

μ k m g c o s θ × r t = 2 5 m r ² ( ω - 0 )

Sabemos também que v = ω r .

Passo 2

Simplificando, as equações obtidas são

- μ k g c o s θ + g s e n θ t = v - v o       ( I ) μ k g c o s θ   t = 2 5 r ω       ( I I )   v = ω r         ( I I I )

A partir dessas equações conseguimos achar as variáveis t , v e ω em função dos parâmetros dados pelo problema.

Para acharmos t , isolamos o termo r ω da equação ( I I ) e substituimos em ( I ) . Ao isolar t , obtemos

t = 2 v o g ( 7 μ k c o s θ - 2 s e n θ )

Prosseguindo com as substituições, obtemos

v = 5 v o μ k 7 μ k - 2 t g θ

ω = 5 v o μ k r 1 7 μ k c o s θ - 2 s e n θ

Resposta

t = 2 v o g ( 7 μ k c o s θ - 2 s e n θ )

v = 5 v o μ k 7 μ k - 2 t g θ

ω = 5 v o μ k r 1 7 μ k c o s θ - 2 s e n θ

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