Enunciado

A roda de 30   k g tem um raio de giração em relação a seu centro de 75   m m e está girando no sentido horário na taxa de 300   r p m , quando é liberada no plano inclinado sem velocidade em seu centro O . Enquanto a roda está deslizando, observa-se que o centro O permanece em uma posição fixa. Determine o coeficiente de atrito dinâmico μ k e o tempo t durante o qual ocorre o deslizamento. Determine também a velocidade v do centro quatro segundos após a roda ter parado de deslizar.

Passo 1

Por geometria, é possível notar a relação entre a força normal N e o peso P = m g da roda:

N = m g c o s θ

Na ausência de forças externas ao longo do eixo inclinado x , temos

∑ F e x t x = 0 = F a t r i t o - m g s e n θ

Mas sabemos que

F a t r i t o = μ k N = μ k m g c o s θ

Assim, igualando as duas expressões para F a t r i t o , encontramos

m g s e n θ = μ k m g c o s θ

∴ μ k = t g θ = t g 10 ° = 0,1763

Passo 2

∑ M o = H ˙ o

Rearranjando, encontramos

∫ 0 t ∑ M o d t = H 2 - - H 1 -

De onde tiramos que

∫ 0 t [ 0,1763 30 9,81 c o s 10 ° × 0,1 ] d t = 0 - - 30 0,075 2 300 × 2 π 60

Resolvendo, obtemos

5,11 t = 5,301             ∴   t = 1,037   s

Passo 3

Sabemos que o somatório das forças externas na direção inclinada x corresponde a variação da quantidade de movimento linear na mesma direção. Assim,

∫ 0 t ∑ F x d t = ∆ G x = m ∆ v x

30 9,81 s e n 10 ° - F × 4 = 30 ( v - 0 )                 →                   30 v = 204 - 4 F

Sabemos também que

∫ 0 t ∑ M o d t = I o - ∆ ω

0,1 × F × 4 = 30 0,075 2 0,075 2 v 0,1                 →                     16,88 v = 4 F

Obtemos portanto um sistema com duas equações e duas incógnitas  

30 v = 204 - 4 F 16,88 v = 4 F

Resolvendo para v , achamos

v = 4,36   m / s

Resposta

μ k = 0,1763

t = 1,037   s

v = 4,36   m / s

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