Enunciado

Uma esfera E de 2   k g está sendo deslocada em um plano vertical por um braço robótico. Quando o ângulo θ é de 30 ° , a velocidade angular do braço em torno de um eixo horizontal que passa por O é de 50   g r a u s / s no sentido horário e sua aceleração angular é de 200   g r a u s / s ² no sentido anti-horário. Além disso, o elemento hidráulico está sendo encurtado na taxa constante de 500   m m / s . Determine a força mínima P necessária para segurar se o coeficiente de atrito estático entre a esfera e as superfícies de aperto é de 0,5 . Compare P com a força mínima P e necessária para manter a esfera em equilíbrio estático na posição de 30 ° .

Passo 1

Sabemos que a força P vai agir como a força “normal” que gera o atrito entre a esfera e as “garras” da máquina:

F a t = 2 P μ

E multiplicamos por dois para incluir o efeito das duas garras sobre a esfera.

Ok, mas contra quem esse atrito está “lutando”? O próprio peso da bola!

Passo 2

Vamos considerar as componentes do peso nas direções radial e tangencial:

P r = P sen ⁡ θ = m g sen ⁡ θ

P t = P cos ⁡ θ = m g cos ⁡ θ

Aplicando a segunda lei de Newton em cada uma das direções, ficamos com as seguintes equações:

∑ F r = F a t x - m g sen ⁡ θ = m a r  

∑ F t = F a t y - m g cos ⁡ θ = m a t

E o sinal negativo aparece porque essas componentes do peso estão sempre contrárias à força de atrito!

Agora podemos usar as equações em coordenadas polares para escrever essas acelerações a r e a t em termos das variáveis que foram dadas no enunciado:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a t = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

E então:

F a t x = m g sen ⁡ θ + m ( r ¨ - r θ ˙ 2 )

F a t y = m g cos ⁡ θ + m ( r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ )

Passo 3

Todos esses valores já são conhecidos (só precisamos as velocidades e acelerações de graus para radianos):

r ˙ = - 0,5   m / s

r ¨ = 0

r = 1   m

θ = 30 °

θ ˙ = 50 ° / s = - 0,872   r a d

θ ¨ = 200 °   / s = 3,49   r a d

E então:

F a t x = 2 9,81 sen ⁡ 30 ° + ( 2 ) ( 0 - 1 - 0,872 2 ) ) ≅ 8,29   N

F a t y = 2 9,81 cos ⁡ 30 ° + 2 3,49 + 2 - 0,5 - 0,872 ≅ 25,7

Passo 4

Então beleza, podemos somar esses dois componentes da força de atrito para encontrar o módulo da força:

F a t = F a t x 2 + F a t y 2 = 8,29 2 + 25,7 2 = 27,0   N

Agora podemos usar a fórmula que tínhamos encontrado antes para a força de atrito para calcular a força P :

F a t = 2 P μ

27,0 = ( 2 ) ( P ) ( 0,5 )

P = 27,0   N

Ok, agora falta comparar esse valor com a força mínima P e necessária para manter a esfera em equilíbrio estático na posição θ = 30 ° .

Nesse caso nem precisamos pensar nos efeitos da trajetória circular, a força total feita pela máquina precisa, pelo menos, compensar o peso da bola:

P e = m g

P e = 2 9,81 = 19,6   N

Agora sim, resolvido!

Resposta

P = 27,0   N e P e = 19,6   N .

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