Enunciado

Uma espaçonave descreve uma órbita elíptica de altitude mínima h A = 2400   k m e altitude máxima h B = 9600   k m acima da superfície da Terra. Determine a velocidade da espaçonave em A .

Passo 1

Olá! Anima aí que já já esse problema estará no papo!

O problema pede que determinemos a velocidade da espaçonave em A , e nos fornece as altitudes mínima e máxima como dados:

h A = 2400   k m

h B = 9600   k m

Assim, sabendo que o raio da Terra é

R = 6370   k m

Podemos calcular os raios:

r A = h A + R

r A = 2400 + 6370

r A = 8770   k m = 8770 × 10 3   m

r B = h B + R

r B = 9600 + 6370

r B = 15970   k m = 15970 × 10 3   m

Aplicando o princípio da conservação do momento angular:

r A m v A = r B m v B

v B = 8770 × 10 3   15970 × 10 3 v A

v B = 0,5492 v A

Passo 2

Calculando a energia cinética e potencial.

Ponto A:

T A = 1 2 m v A 2

Aplicando agora a Eq. 13.17, usada para a energia potencial quando a variação da força da gravidade não pode ser desprezada:

V A = - G M m r 0

No caso de um corpo de massa m sujeito à atração gravitacional da Terra, o produto G M , pode ser expresso de acordo a Eq. (12.29),

G M T e r r a = g R 2

em que M T e r r a e R são, respectivamente, a massa e o raio da Terra.

Sabemos que,

g = 9,81   m / s 2

e

R = 6370   k m = 6370 × 10 3   m

Então, substituindo na Eq. (12.29), temos,

G M T e r r a = 9,81 6370 × 10 3 2

G M T e r r a = 398 , 1 × 10 12   m 3 / s 2

Substituindo em V A :

V A = - G M T e r r a m r A

V A = - 398 , 1 × 10 12 m 8770 × 10 3

V A = - ( 45,39 × 10 6 ) m

Ponto B:

T B = 1 2 m v B 2

Aplicando a Eq. 13.17:

V B = - G M T e r r a m r B

V B = - 398,1 × 10 12 m 15970 × 10 3

V B = - ( 24,93 × 10 6 ) m

Passo 3

Em posse das energias cinética e potencial, vamos aplicar o princípio da conservação da energia:

T A + V A = T B + V B

1 2 m v A 2 - ( 45,39 × 10 6 ) m = 1 2 m v B 2 - 24,93 × 10 6 m

v A 2 - v B 2 = 40,92 × 10 6

Sabemos que

v B = 0,5492 v A

Então,

v A 2 - 0,5492 v A 2 = 40,92 × 10 6

v A 2 - 0,30162 v A 2 = 40,92 × 10 6

v A = 7687,68   m / s

Transformando em k m / h :

v A = 7687,68 ⋅ 3,6 = 27,67 × 10 3   k m / h

Resposta

v A = 27,67 × 10 3   k m / h

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