Enunciado

Uma espaçonave descreve uma órbita elíptica em torno da Terra com uma velocidade máxima v A = 26,3 × 10 3   k m / h em A e uma velocidade mínima v B = 18,5 × 10 3   k m / h em B . Determine a altitude da espaçonave em B .

Passo 1

Olá, galera! Tudo bem?

O problema pede que determinemos a altitude da espaçonave em B , e nos fornece as altitudes mínima e máxima como dados:

v A = 26,3 × 10 3   k m / h = 7,3 1 × 10 3   m / s

v B = 18,5 × 10 3   k m / h = 5,14 × 10 3   m / s

Aplicando o princípio da conservação do momento angular:

r A m v A = r B m v B

Como a massa está presente em ambos os lados, então:

r A v A = r B v B

r A = 18,5 × 10 3   26,3 × 10 3 r B

r A = 0 , 7034 r B

Passo 2

Calculando a energia cinética e potencial.

Ponto A:

T A = 1 2 m v A 2

T A = m 7,3 1 × 10 3 2 2 = ( 26,7 × 10 6 ) m

Aplicando agora a Eq. 13.17, usada para a energia potencial quando a variação da força da gravidade não pode ser desprezada:

V A = - G M m r 0

No caso de um corpo de massa m sujeito à atração gravitacional da Terra, o produto G M , pode ser expresso de acordo a Eq. (12.29),

G M T e r r a = g R 2

em que M T e r r a e R são, respectivamente, a massa e o raio da Terra.

Sabemos que,

g = 9,81   m / s 2

e

R = 6370   k m = 6370 × 10 3   m

Então, substituindo na Eq. (12.29), temos,

G M T e r r a = 9,81 6370 × 10 3 2

G M T e r r a = 398,1 × 10 12   m 3 / s 2

Substituindo em V A :

V A = - G M T e r r a m r A

V A = - 398,1 × 10 12 m r A

Ponto B:

T B = 1 2 m v B 2

T B = m 5,14 × 10 3 2 2 = ( 13,2 × 10 6 ) m

Aplicando a Eq. 13.17:

V B = - G M T e r r a m r B

V B = - ( 398,1 × 10 12 ) m r B

Passo 3

Em posse das energias cinética e potencial, vamos aplicar o princípio da conservação da energia:

T A + V A = T B + V B

( 26,7 × 10 6 ) m - 398,1 × 10 12 m r A = ( 13,2 × 10 6 ) m - ( 398,1 × 10 12 ) m r B

Sabemos que

r A = 0,7034 r B

Então,

( 26,7 × 10 6 ) - 398,1 × 10 12 0,7034 r B = ( 13,2 × 10 6 ) - ( 398,1 × 10 12 ) r B

- 13,2 × 10 6 + 26,7 × 10 6 = - 398,1 × 10 12 r B + 5,6596 5 × 10 14 r B

13 , 5 × 10 6 = 1,6786 5 × 10 14 r B

r B = 12,43 4 × 10 6   m = 12434   k m

Passo 4

Agora sim podemos calcular a altitude da espaçonave em B !

h B = r B - R

h B = 12434 - 6370 = 6064   k m

Resposta

h B = 6064   k m

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