Enunciado

Um esquiador pesando 90   k g parte do repouso para descer uma encosta com inclinação de 17 ° . Ele desliza 100   m encosta abaixo e, a seguir interrompe a impulsão ao longo de 70   m de neve nivelada até parar. Determine o coeficiente de atrito cinético entre os esquis e a neve. Qual velocidade o esquiador deverá alcançar na base da encosta?

Passo 1

E aí galera, vamos iniciar mais uma questão do nosso livro!

Primeiramente vamos anotar alguns dados importantes fornecido na questão:

p e s o   d o   e s q u i a d o r = m = 90   k g

θ = 17 °

l = 10 0   m

s = 7 0   m

Como na figura a seguir, o problema foi dividido em duas partes. Primeiro quando o esquiador está descendo a colina e segundo quando ele desce até parar.

Então, no primeiro caso temos o peso do esquiador, a força normal sobre ele e a força de atrito. As equações do movimento.

Na direção y temos:

F N = F g cos ⁡ θ

E na direção x , temos:

m x 1 ¨ = F g sin ⁡ θ - f

Desde,

f = μ F N = μ F g cos ⁡ θ

Dessa forma, a aceleração é dada por:

x 1 ¨ = g sin ⁡ θ - μ F g cos ⁡ θ

Podemos ver que a aceleração é constante.

Agora para o segundo caso, as equações de movimento na direção y e na direção x são dadas respectivamente por:

F ' N = F g

x 2 ¨ = - f '

Assim a gente pode expressar a aceleração na seguinte maneira:

x 2 ¨ = - μ g

E essa aceleração também será constante.

Passo 2

Portanto, como as acelerações são constantes podemos simplesmente encontrar a velocidade e a posição por integração simples como segue abaixo:

x ¨ = d v d t

∫ v 0 v f d v = ∫ 0 t x ¨ d t

v f = v 0 + x ¨ t

Então:

t = v f - v 0 x ¨

E:

d x d t = v f

∫ x 0 x f d x = ∫ 0 t ( v 0 + x ¨ t ) d t

x - x 0 = v 0 t + 1 2 x ¨ t 2

Substituindo por t , teremos:

x - x 0 = v 2 - v 0 2 2 x ¨

Assim, se considerarmos que o ponto inicial e final é o início e o fim do morro, obtemos:

2 x ¨ 1 l = v 2

Onde v é a velocidade final no morro. E se considerarmos que o ponto inicial e final está descendo o morro e onde ele parou, temos:

2 x ¨ 2 s = - v 2

Passo 3

Agora, igualando as equações 2 x ¨ 1 l = v 2   e 2 x ¨ 2 s = - v 2 , temos:

x ¨ 1 l = 2 x ¨ 2 s

E substituindo pelos valores de x ¨ 1   e x ¨ 2 , calculados anteriormente, obtemos:

l g sin ⁡ θ - μ F g cos ⁡ θ = s μ g

μ = l sin ⁡ θ l cos ⁡ θ + s

μ = 0,177

E a velocidade é:

v 2 = - 2 s x ¨ 2

= 2 s μ g

= 2 × 70 × 0,177 × 9,8

v = 242,844

v = 15,58 m s

Finalizamos aqui nossa questão, tudo beleza? Te vejo na próxima!

Resposta

μ = 0,177

v = 15,58 m s

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