Enunciado

Para um estado plano de tensões é conhecido que, para cada uma das duas orientações indicadas para os eixos coordenados, as tensões, normal e de cisalhamento, são dirigidas como mostrado, e as intensidades das tensões normais σ x ,   σ y e σ x ' , são respectivamente iguais a 70   M P a , 15   M P a e 80   M P a . Determinar: (a) os planos e as tensões principais; (b) a tensão de cisalhamento máxima, no plano.

Passo 1

a) O que a gente precisa fazer aqui é usar o Círculo de Mohr para descobrir o ângulo θ p e seu sentido, porque ele define a orientação dos planos principais. E depois descobrir as tensões principais.

E como a gente faz isso? Vamos tentar montar esse círculo com as informações que a gente tem. Vamos listar:

- a tensão normal no eixo x é positiva porque está saindo da seção e vale: σ x = 7 0   M P a

- a tensão normal no eixo y é positiva porque está saindo da seção e vale: σ y = 15   M P a

- a tensão normal no eixo x ' é positiva porque está saindo da seção e vale: σ x ' = 80   M P a

- vamos considerar o cisalhamento positivo, como está na figura.

Bora começar!

Passo 2

Achando a coisinhas que a gente precisa para montar o Círculo de Mohr: vamos calcular as coordenadas de X , Y , o centro   C e o raio R . Temos que:

X = σ x ,   - τ x y = 7 0 ,   - τ x y

Y = σ y ,   τ x y = 15 ,   τ x y

σ m é d i o = σ x + σ y 2 = 42,5   M P a

C = σ m é d i o , 0 = 42,5   ,   0

Só não conseguimos achar o raio ainda. Vamos desenhar com um raio genérico e o plano de ϕ = 30 ° , só para peceber uma coisinha. Como no elemento, ϕ está no sentido anti-horário, a gente marca o dobro dele no sentido anti-horário.

No plano de ϕ a gente tem cisalhamento negativo. E aí a gente pode lembrar que para esse caso:

X ' = σ x ,   τ x ' y ' = 80 ,   τ x ' y '

Passo 3

Olhando para esse círculo lindão, percebemos umas coisinhas:

R cos ⁡ ( 2 θ p ) = ( 7 0 - 42 , 5 ) ∴ R = 27 , 5 cos ⁡ 2 θ p

R cos ⁡ 60 ° - 2 θ p = 80 - 42,5 ∴ R = 37,5 cos ⁡ 60 ° - 2 θ p

27 , 5 cos ⁡ 2 θ p = 37,5 cos ⁡ 60 ° - 2 θ p ∴ 27 , 5 cos ⁡ 60 ° - 2 θ p = 37,5 cos ⁡ 2 θ p

27 , 5 37,5 ( cos ⁡ 60 ° cos ⁡ 2 θ p + s e n   60 °   s e n   2 θ p ) = cos ⁡ 2 θ p

27 , 5 37,5 ( cos ⁡ 60 ° + s e n   60 °   t g   2 θ p ) = 1 ∴ θ p = 1 2 a r c t g 3 7 , 5 2 7,5 - cos ⁡ 60 ° s e n   60 ° = 22,46 °

Ufa! A gente achou o primeiro ângulo que define os planos principais. E a gente precisa girar nossa reta no sentido anti-horário para chegar no eixo horizontal. Para descobrir o ângulo do outro plano é só substrair 90 ° dele. Dá:

θ p 2 = 67 , 54 °

Só que no sentido horário.

Passo 4

Poxa, mas quem é o raio? É só substituir o ângulo em uma das equações que a gente usou:

R = 27 , 5 cos ⁡ 2 ⋅ 22,46 ° = 3 8,84   M P a

Aí a gente consegue achar as tensões principais:

σ m í n = σ m é d i o - R = 42,5 - 38,84 = 3,66   M P a

σ m á x = σ m é d i o + R = 42,5 + 38,84 = 81 , 34   M P a

Passo 5

b) Agora a gente quer a tensão de cisalhamento máximo. Aqui é só lembrar que:

τ m á x = R = 42,5   M P a

Resposta

(a) θ p = 22,46 ° no sentido anti-horário e θ p 2 = 67,54 ° no sentido horário.

(b)   σ m í n = 3,66   M P a ,   σ m á x = 81 , 34   M P a

(c)   τ m á x = 42 , 5   M P a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dois perfil de aço, em forma de cantoneira, L102 × 76 , são perfeitamente unidos para suportar o carregamento mostrado. Sabendo-se que σ a d m = 140M P a e τ a d m = 85M P a , determinar a mínima espe
Para a viga e o carregamento mostrado, determinar a máxima tensão normal nos pontos a ,b e c .
Para a viga e o carregamento mostrado, determinar a máxima tensão de cisalhamento nos pontos a ,b e c .
A viga A B tem uma seção transversal retangular de largura b constante e a altura h variável. Sabendo-se que a viga deve ser de resistência constante, expressar h , em termos de x ,L e h 0 .
Para a viga e o carregamento do Prob. Resolvido 7.11, determinar a máxima tensão de cisalhamento nos pontos a ,b e c .