Enunciado

(a) Prove que a expressão σ x ' σ y ' - τ x ' y ' 2 , onde σ x ' , σ y ' e τ x ' y ' são componentes da tensão ao longo dos eixos retangulares x ' e y ' , independe da orientação destes eixos. Também mostre que a referida expressão representa o quadrado da tangente, traçada a partir do sistema de coordenadas do círculo de Mohr. (b) Usando a propriedade invariante estabelecida na parte (a), expressar a tensão de cisalhamento τ x y em termos de σ x , σ y e das tensões principais σ m á x e σ m í n .

Passo 1

a) Ele quer que a gente ache a expressão de:

σ x ' σ y ' - τ x ' y ' 2

E mostre que ela independe da orienteção dos eixos, ou seja, de θ p .

Vamos montar um círculo de Mohr genérico para esses eixos x ' e y ' , para perceber umas coisinhas:

Dessa figura, a gente tira umas relações geométricas:

τ x ' y ' = R sen ⁡ 2 θ p

σ x ' = σ m é d i a + R cos ⁡ 2 θ p

σ y ' = σ m é d i a - R cos ⁡ 2 θ p

Passo 2

Vamos escrever a expressão que ele pediu, usando essas relações aí:

σ x ' σ y ' - τ x ' y ' 2 = σ m é d i a + R cos ⁡ 2 θ p σ m é d i a - R cos ⁡ 2 θ p - R sen ⁡ 2 θ p 2

σ x ' σ y ' - τ x ' y ' 2 = σ m é d i a 2 - R 2 cos 2 ⁡ 2 θ p - R 2 sen 2 ⁡ 2 θ p

σ x ' σ y ' - τ x ' y ' 2 = σ m é d i a 2 - ( R 2 cos 2 ⁡ 2 θ p + R 2 sen 2 ⁡ 2 θ p )

σ x ' σ y ' - τ x ' y ' 2 = σ m é d i a 2 - ( R 2 ( cos 2 ⁡ 2 θ p + sen 2 ⁡ 2 θ p ) )

Aí a gente lembra daquela identidade trigonométrica bacana:

σ x ' σ y ' - τ x ' y ' 2 = σ m é d i a 2 - R 2

Olha só! Reduzimos nossa expressão e provamos que ela não depende de θ p .

Passo 3

Agora a gente quer mostrar que isso é o quadrado da tangente saindo de O . O que isso significa? Que isso é numericamente igual ao quadrado do comprimento do segmento entre O e um ponto tangente ao nosso círculo.

Olha essa figura bonita. O ponto de tangência é K .

Queremos então provar que o nosso resultado é igual ao quadrado do segmento O K - . Percebe que ele é um cateto de um triângulo retângulo. Então a gente pode usar Pitágoras para escrever:

O C - 2 = O K - 2 + K C - 2

Já que:

O C - = σ m é d i a ,     K C - = R

O C - 2 = O K - 2 + K C - 2

σ m é d i a 2 = O K - 2 + R 2 ∴ O K - 2 = σ m é d i a 2 - R 2

E no passo anterior a gente viu que isso é igual a nossa expressão:

O K - 2 = σ x ' σ y ' - τ x ' y ' 2

Uhul!

Passo 4

b) Essa propriedade diz que o valor de:

σ x ' σ y ' - τ x ' y ' 2

É o mesmo para qualquer ângulo θ p . Vamos usar isso para expressar τ x y , usando σ x , σ y , σ m í n e σ m á x .

Na orientação θ p , essa expressão fica:

σ x σ y - τ x y 2

E para a orientação dos eixos principais:

σ m á x   σ m í n - 0 2

Mas a propriedade diz que esses valores são iguais, então:

σ x σ y - τ x y 2 = σ m á x   σ m í n ∴ τ x y = ± σ x σ y - σ m á x   σ m í n

É isso! (a gente só não consegue definir o sinal mesmo dessa raiz, mas é isso aí)

Resposta

(a) prova nos passos

(b)   τ x y = ± σ x σ y - σ m á x   σ m í n  

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