Enunciado

O estado plano de tensões mostrado ocorre em uma barra feita de uma classe de aço, cuja tensão de escoamento à tração é de 310   M P a . Determinar o coeficiente de segurança, em relação ao escoamento, usando:

  1. O critério da máxima tensão de cisalhamento;
  2. O critério da máxima energia de distorção.

Passo 1

Fala galera, vamos fazer esse exercício de maneira muito simplificada para ficarmos muito tranquilos. Para o fator de segurança, precisamos seguir duas linhas de raciocínio.

Primeiro temos que definir as tensões principais, sabemos que a fórmula é dada por:

σ 1 = σ m e d + R

σ 2 = σ m e d - R

Sabemos que:

σ m e d = σ x + σ y 2

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

E ainda temos que pensar que temos uma tensão fora do plano que não observamos dada por:

σ 3 = 0

Sendo assim, quando formos determinar a máxima tensão cisalhante, devemos usar o seguinte cálculo:

τ m a x = σ m a x - σ m i n 2

E assim determinamos as nossas máximas tensões, porém para o fator de segurança precisamos tanto da máxima tensão, quando da tensão resistente, para a tensão resistente temos os seguintes critérios a serem usados:

  • Critério da máxima tensão de cisalhamento (ou critério de Tresca)
  • Se considerarmos o critério de tresca, a máxima tensão cisalhante resistente que age na nossa estrutura é dada por:

    τ e = σ e 2

    Assim o fator de segurança é dado por:

    F S = τ e τ m a x

  • O critério da máxima energia de distorção (ou critério de von mises)

Esse critério é um pouco diferente, porque ele, a partir das tensões principais, determina uma nova tensão principal total. Essa tensão principal total será a que vamos usar no fator de segurança, sendo assim temos que:

σ ' = σ 1 2 + σ 2 2 - σ 1 σ 2

E o fator de segurança é dado por:

F S = σ e σ '

Agora que já sabemos o que fazer, podemos ficar mais tranquilos, vamos nessa?

Passo 2

Sabemos que o nosso elemento é dado por:

σ x = - 42   M P a

σ y = 126   M P a

τ x y = 63   M P a

E agora podemos definir a nossas tensões principais, com isso temos que:

σ m e d = - 42 + 126 2 = 42   M P a

R = - 42 - 126 2 2 + 63 2 = 105 M P a

σ 1 = 42 + 105 = 147   M P a

σ 2 = 42 - 105 = - 63   M P a

Considerando ainda uma tensão fora do plano, tem-se que:

σ 3 = 0

Com isso temos que:

σ m a x = 147   M P a

σ m i n = - 63   M P a

τ m a x = 147 - ( - 63 ) 2 = 105   M P a

Agora podemos ira para os fatores de segurança.

Passo 3

Pelo critério da máxima tensão de cisalhamento temos que:

τ e = σ e 2

Sabemos que:

σ e = 310   M P a

τ e = 310 2 = 155   M P a

Assim o fator de segurança é dado por:

F S = τ e τ m a x = 155 105 = 1,48

Passo 4

Pelo critério da máxima energia de distorção temos que:

σ ' = σ 1 2 + σ 2 2 - σ 1 σ 2

E determinamos que:

σ 1 = 147   M P a

σ 2 = - 63   M P a

σ ' = 147 2 + - 63 2 - 147   .     ( - 63 ) = 187   M P a

E o fator de segurança dado por:

F S = σ e σ ' = 310 187 = 1,66

E assim resolvemos o nosso problema, viu como era bem tranquilo? Bora partir para a próxima então.

Resposta

  1. F S = 1,48
  2. F S = 1,66
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