Enunciado

Na estrutura de aço mostrado, um pino de 6 m m de diâmetro é usado em C , enquanto que em B e D usam-se pinos de 10   m m de diâmetro. A tensão de cisalhamento última para todas as ligações é de 150   M P a , e a tensão normal ultima é de 400   M P a na viga B D . Desejando-se um coeficiente de segurança igual a 3 , determine a maior carga P que pode ser aplicada em A. Notar que a viga B D não é reforçada em torno dos furos dos pinos.

Passo 1

Essa questão é bem interessante, e por isso precisamos tomar bastante cuidado com ela. Sabemos pelo enunciado os seguintes dados:

P i n o   e m   C   t e m   d i a m e t r o   d e   6 m m   e   τ u l t i m a = 150 M P a = 150 N m m 2

P i n o   e m   D   t e m   d i a m e t r o   d e   10 m m   e   τ u l t i m a = 150 M P a = 150   N m m 2

A   b a r r a     B D   t e m   s e ç ã o   d e   18 m m   x   6 m m   e   τ u l t i m a = 400 M P a = 400   N m m 2

Se temos os diâmetros e áreas das seções, assim como as tensões resistentes, podemos determinar a força máxima que cada seção pode suportar usando a seguinte equação:

τ u l t i m a = F u l t i m a A

Em que queremos determinar a força, sendo assim teremos que:

F u l t i m a = τ u l t i m a × A

Fazendo isso para todas as nossas estruturas teremos que:

  • Pino em C
  • O pino em C vale ser notado uma diferença:

    Perceba que ele é travado por uma barra de cada lado, ou seja, a resistência do pino será como se ele possuísse duas áreas sendo cisalhadas, uma para a barrinha de baixo e uma pra barrinha de cima que também trava ele, ou seja, podemos multiplicar a área do nosso pino por dois:

    F u l t i m a = 150 × π 6 2 4 × 2 = 8482,3   N

  • Pino em D
  • O pino em D é normal:

    Logo usamos a nossa fórmula normalmente também.

    F u l t i m a = 150 × π 10 2 4 = 11781   N

  • Barra BD
  • Esse tem uma peculiaridade que é tirarmos da seção solicitada a área do parafuso, ou seja, se temos um parafuso de 10mm em uma chapa de espessura 6mm, precisamos descontar essa área na resistência, logo usamos a nossa fórmula, teremos:

    F u l t i m a = 400 × ( 18 × 6 - 10 × 6 ) = 19200   N

    Mas vale lembrar que queremos um fator de segurança de 3, e sabemos que podemos escrever a nossa fórmula com o fator de segurança da seguinte maneira:

    F S = F u l t i m a F a p l i c a d a

    Como queremos a força aplicada podemos definir como:

    F a p l i c a d a = F u l t i m a F S

    Calculando para cada pino teremos que:

  • Pino em C
  • F a p l i c a d a = F u l t i m a F S = 8482,3 3 = 2827,4   N

  • Pino em D
  • F a p l i c a d a = F u l t i m a F S = 11781 3 = 3927   N

  • Barra BD
  • F a p l i c a d a = F u l t i m a F S = 19200 3 = 6400   N

    Ou seja, agora já sabemos as forças que as estruturas suportam.

    Passo 2

    Para sabermos quanto age em cada estrutura precisamos determinar o valor das reações de apoio, e para isso precisamos olhar a nossa estrutura:

    Olha que macete legal, que a barra BD está ligada por pinas a barra ABC, e como no enunciado diz que no ponto B não tem nenhum tipo de reforço, então podemos concluir que não há transferência de momentos fletores entres as barras. Ou seja, se eu fizer um somatório de momentos no ponto B vindo a partir do ponto D, esse somatório de momentos tem que dar zero, porque pensa só, se a barra BD pode girar em trono do parafuso B, então ali não temos momento fletor, fazendo isso teremos que:

    ∑ M B a   p a r t i r   d e   D = 0 = H D × L + V D × 0

    H D × L + V D × 0 = 0

    H D = 0

    Se H D = 0 então teremos que H C = 0 .

    Fazendo agora o somatório de momentos no ponto C teremos que:

    ∑ M C = 0 = P × 120 + 160 - V D × 120

    P × 120 + 160 - V D × 120 = 0

    V D = P × 280 120 = 7 P 3

    Como queremos calcular o valor da carga P podemos fazer:

    P = 3 V D 7

    E com isso sabemos a carga que age de acordo com a resistência do parafuso em D, vamos agora ver o parafuso em C.

    ∑ F v = 0 = V D + V C - P

    P = 7 P 3 + V C

    V C = P - 7 P 3 = - 4 P 3

    Como queremos definir o valor de P, podemos ignorar o sinal e fazer a seguinte relação.

    P = 3 V C 4

    Logo temos as reações que agem nos parafusos C e D e sabemos que a força normal na barra BD é o mesmo valor de V D .

    Passo 3

    Verificando as estruturas teremos que:

  • Pino em D
  • F D = 3927   N

    P = 3 V D 7 = 3   .     3927 7 = 1683   N = 1,683   k N

  • Pino em C
  • F C = 2827,4   N

    P = 3 V C 4 = 3   .     2827,4 4 = 2121   N = 2,121   k N

  • Barra BD

F B D = 6400   N

P = 3 V D 7 = 3   .     6400 7 = 2743   N = 2,743   k N

E agora é simples, a carga que deve ser aplicada para respeitar as condições impostas pelo problema é aquela que for a menor entre as verificadas, além do mais, qualquer carga que for maior vai romper o elo mais fraco, enquanto a carga menor garante o elo mais fraco e não afeta os mais fortes, sendo assim a carga que deve ser usada é:

P = 1,683   k N

Resposta

P = 1,683   k N

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