Enunciado

Uma barra composta de duas porções cilíndricas AB e BC é engastada em ambas as extremidades. A porção AB é de aço ( E = 200   G P a ; α = 11,7   .   10 - 6 ° C - 1 ) e a porção BC é de latão ( E = 105   G P a ; α = 20,9   .   10 - 6 C ° - 1 ) . Sabendo-se que a barra está inicialmente sem tensão, determinar:

  1. As tensões normais induzidas nas porções AB e BC, por uma temperatura de 50 ° C ;
  2. A correspondente deflexão no ponto B.

Passo 1

Queremos determinar tensões e deformações em uma estrutura que deforma por variação de temperatura, e sabemos que para determinarmos isso, precisamos determinar forças, e para determinar forças precisamos determinar diagramas, então vamos lá, vamos começar pelo diagrama:

∑ F v = 0 = F A - F C

F A = F C

Mas agora precisamos de uma equação de compatibilidade para podermos resolver o nosso problema. Perceba que a deformação total entre os pontos A e C tem que ser igual a zero no somatório de deformações, e que teremos deformações devido a temperatura e devido aos normais que aparecem nas paredes, dessa forma teremos que:

δ A B + δ T A B + δ B C + δ T B C = 0

Em que:

δ A B = N A B L A B E A B A A B

δ B C = N B C L B C E B C A B C

δ T A B = L A B ∆ T α A B

δ T B C = L B C ∆ T α B C

E sabemos que os dados do enunciado são dados por:

L A B = 250 m m

L B C = 300 m m

A A B = π D A B 2 4 = π 30 2 4 = 706,86   m m 2

A B C = π D B C 2 4 = π 50 2 4 = 1963,5   m m 2

∆ T = 50 °

E A B = 200   G P a = 200 k N m m 2

E B C = 105   G P a = 105 k N m m 2

α A B = 11,7   .   10 - 6 1 C °

α B C = 20,9   .   10 - 6 1 C °

E agora só precisamos determinar os normais relacionados com as forças que queremos descobrir.

Passo 2

Usando o nosso diagrama teremos que:

  • Trecho AB
  • Sendo assim teremos que:

    F A + N A B = 0

    N A B = - F A

  • Trecho BC

Sendo assim teremos que:

F A + N B C = 0

N B C = - F A

Substituindo na nossa fórmula teremos que:

δ A B + δ T A B + δ B C + δ T B C = 0

N A B L A B E A B A A B + L A B ∆ T α A B + N B C L B C E B C A B C + L B C ∆ T α B C = 0

- F A   .     250 200   .     706,86 + 250   .     50   .   11,7   .     10 - 6 + - F A   .     300 105   .     1963,5 + 300   .     50   .     20,9   .   10 - 6 = 0

- F A   .     250 200   .     706,86 + 250   .     50   .   11,7   .     10 - 6 + - F A   .     300 105   .     1963,5 + 300   .     50   .     20,9   .   10 - 6 = 0

- F A   .   1,768   .   10 - 3 + 0,14625 - F A   .   1,455   .   10 - 3 + 0,3135 = 0

3,223   .     10 - 3   .     F A = 0,45975

F A = F C = 142,6   k N

Passo 3

Se temos a força podemos definir as tensões normais, que é a força dividido pela área da seção, sendo assim teremos que:

  1. Barra AB

σ A B = N A B A A B = - F A A A B = - 142,6 706,86   k N m m 2 = - 0,202 G P a = - 202   M P a

  1. Barra BC

σ B C = N B C A B C = - F A A B C = - 142,6 1963,5   k N m m 2 = - 0,0726 G P a = - 72,6   M P a

E sabemos que para determinar o deslocamento do ponto B precisamos escolher uma das duas barras ( e tanto faz qual, porque lembra que o somatório de deformações total dava zero) e fazer a diferença entre o que essa barra deformou devido a força e devido a temperatura, então se eu escolher a barra AB, teremos que:

δ B = δ T B C - δ B C

δ B = L B C ∆ T α B C - N B C L B C E B C A B C

δ B = 300   .   50   .     20,9   .     10 - 6 - 142,6   .     300 105   .     1963,5 = 0,106 m m = 106 μ m

Resposta

a) σ A B = - 202   M P a e σ B C = - 72,6   M P a

b) δ B = 106 μ m

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