Enunciado

A estrutura é usada para armazenar e desenrolar cabos. A massa combinada da estrutura e do cabo é 150   k g com centro de massa em G . Determine as forças normais nos quatro pés ( A , B , C e D ) se (a) o cabo sai pela parte de cima do carretel e (b) o cabo sai pela parte de baixo do carretel. Note que, em ambos os casos, o cabo sai do carretel em seu ponto médio horizontal. O raio efetivo do carretel é de 150   m m .

Passo 1

O primeiro passo para simplificar esse problema é perceber que existe uma simetria muito importante nesse sistema:

N A = N D   ⇒   N 1 = 2 N A = 2 N D

N B = N C     ⇒     N 2 = 2 N B = 2 N C

Isso já facilita bastante! Temos apenas duas variáveis desconhecidas ( N 1 e N 2 ) e duas conhecidas: a força no carretel e o peso P .

Passo 2

(a) Nesse caso vamos substituir a força que sai pela parte de cima do carretel como uma única força T = 225   N atuando no centro E do carretel e um binário M = 225 150 = 33 75 0   N m m .

E agora vamos tratar o problema como se fosse bidimensional. Vamos montar uma equação de equilíbrio para o momento em torno do ponto A (que no caso bidimensional, a vista “de lado” também está sobre o ponto D ).

∑ M A = 0

E então a força N 1 tem momento nulo, e ficamos apenas com a força N 2 , a força T e o peso. Vamos desenhar as forças aqui, e conferir as distâncias no desenho do enunciado:

∑ M A = 0

∑ M A = - P 250 + N 2 250 + 50 + 300 + T 300 sen ⁡ 15 ° - 950 cos ⁡ 15 ° - M

- 150 9,81 250 + 600 N 2 - ( 840 ) ( 225 ) - ( 33750 ) = 0

N 2 = 840 225 + 33750 + ( 150 ) ( 9,81 ) ( 250 ) ( 600 ) = 984

E essa força N 2 é o dobro das duas forças N B e N C , então:

N B = N C = 984 2 = 492   N

Passo 3

E agora, ainda tratando do caso (a), vamos aplicar a condição de equilíbrio das forças na direção vertical para encontrar N 1 :

∑ F = 0

∑ F = N 1 + N 2 - P + T sen ⁡ 15 °  

N 1 + 984 - 150 9,81 + 225 sen ⁡ 15 ° = 0

N 1 = 429,3   N

E então:

N A = N D = 429,3 2 ≅ 215   N

Passo 4

(b) Agora vamos fazer uma coisa bem parecida para o segundo caso.

Mais uma vez, vamos tratar a força T como se estivesse atuando no centro, mas dessa vez acompanhada por um binário no sentido contrário:

M = - 225 150 = - 33750   N m m

E agora vamos só copiar as equações que montamos antes, mas trocando o sinal do binário.

Usando ∑ M A = 0 ficamos com o seguinte (já com o sinal do 33750 trocado):

N 2 = 840 225 - 33750 + ( 150 ) ( 9,81 ) ( 250 ) ( 600 ) = 872

N B = N C = 872 2 = 436   N

E na equação do equilíbrio das forças não temos o binário, mas muda o valor de N 2 :

N 1 + 872 - 150 9,81 + 225 sen ⁡ 15 ° = 0

N 1 = 541   N

N A = N D = 541 2 = 271   N

Resposta

(a) N A = N D = 215   N e N B = N C = 492   N .

(b) N A = N D = 271   N e N B = N C = 436   N .

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