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Em um estudo da lesão na cabeça contra o painel de instrumentos de um carro durante paradas bruscas ou em colisões onde cintos de segurança abdominais, sem alça no ombro, ou airbags são utilizados, o modelo humano segmentado mostrado na figura é analisado. Assume-se que articulação do quadril O permanece fixa em relação ao carro, e o tronco acima do quadril é tratado como um corpo rígido de massa m livremente articulado em O . O centro de massa do tronco está em G com a posição inicial de O G adotada como vertical. O raio de giração do tronco em relação a O é k O . Se o carro é forçado a uma parada súbita com uma desaceleração constante a , determine a velocidade v em relação ao carro com a qual a cabeça do modelo atinge o painel de instrumentos. Substitua os valores m = 50   k g , r - = 450   m m , r = 800   m m , k O = 550   m m , θ = 45 ° e a = 10 g e calcule v .

Passo 1

Queremos encontrar a velocidade angular do tronco quando θ = 45 ° = π / 4 .

Quando precisamos enconrar a velocidade angular em função de certo deslocameno angular, é muito comum usar a seguinte relação:

ω   d ω = α   d θ

Que pode ser integrada dos dois lados para dar o seguinte resultado:

∫ 0 ω ω   d ω = ∫ 0 π / 4 α   d θ

ω 2 2 = ∫ 0 π / 4 α   d θ

Então precisamos encontrar uma função α ( θ ) .

Passo 2

Vamos começar calculando o momento de inércia do tronco em relação ao centro de massa. Para isso vamos usar o teorema dos eixos paralelos:

I O = I c m + m d 2

m k O 2 = I c m + m r - 2

I c m = m k O 2 - r - 2

E agora vamos montar uma equação de momentos em relação ao ponto O :

∑ M O = I c m α + ∑ m a - d

E única força que produz momento em relação ao ponto O é uma componente do peso, agindo sobre o centro de massa, a uma distância r - de O :

∑ M O = m g r - sen ⁡ θ

E para esse último termo da equação de momentos, só precisamos considerar a aceleração tangencial associada à rotação em torno de O , e a aceleração associada à desaceleração a 0 do carro. Ambas agem no centro de massa do tronco, a uma distância r - do ponto O .

A aceleração centrípeta que age sobre o tronco não produz momento, pois sua linha de ação passa pelo ponto O :

∑ m a - d = m a t a n r - - m a 0 cos ⁡ θ r -

∑ m a - d = m r - 2 α - m a 0 r - cos ⁡ θ

Agora vamos substituir tudo isso na equação principal:

∑ M O = I c m α + ∑ m a - d

m g r - sen ⁡ θ = m k O 2 - r - 2 α + m r - 2 α - m a 0 r - cos ⁡ θ

E então podemos isolar a aceleração angular:

α = r - k O 2 g sen ⁡ θ + a 0 cos ⁡ θ

Passo 3

Agora podemos substiuir essa função na nossa integral do primeiro passo:

ω 2 2 = r - k O 2 ∫ 0 π / 4 g sen ⁡ θ + a 0 cos ⁡ θ   d θ

Vamos resolver essa integral separadamente:

∫ 0 π / 4 g sen ⁡ θ   d θ = - g cos ⁡ π 4 + g cos ⁡ 0 = g 1 - 2 2

∫ 0 π / 4 a 0 cos ⁡ θ   d θ = a 0 sen ⁡ π 4 - a 0 sen ⁡ 0 = 2 2 a 0

Então:

ω 2 2 = r - k O 2 g 1 - 2 2 + 2 2 a 0

Substituindo os valores numéricos:

ω 2 = 2 ( 0,45 ) 0,55 2 ( 9,81 ) 1 - 2 2 + 2 2 10 9,81

ω = 14,7   r a d / s

E como a cabeça está a uma distância r = 0,8   m do ponto O , a sua velocidade linear no instante em que colide contra o painel é:

v = ω r = 14,7 0,8 = 11,7   m / s

Resposta

A velocidade será v = 11,7   m / s .

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