Enunciado

Nós expressamos por ε 1 , ε 2 e ε 3 as três medidas de deformação específica normal feitas com uma roseta à 60°. Pede-se (b) Sabendo-se que as seguintes medidas foram feitas com esta roseta, em um dado ponto de um componente de máquina, determinar, neste ponto, as deformações específicas normais, no plano, e a máxima deformação específica de cisalhamento, no plano.

Passo 1

Essa parte do problema nos fornece os dados de deformação da roseta, com isso é possível achar as deformações ε x , ε y e γ . Com essas deformações a gente vai fazer o nosso ciclo de Mohr para deformação e achar a máxima deformação específica de cisalhamento e normal =D

Passo 2

As equações que vamos utilizar são da seguinte forma, onde o ângulo α é o ângulo da roseta.

ε α = ε x ⋅ c o s 2 ( α ) + ε y ⋅ s e n 2 ( α ) + γ x y ⋅ sen ⁡ α ⋅ c o s ⁡ ( α )

Daí é só substituir, aqui o ângulo θ do desenho não vai mudar nada, exatamente pelo que foi descrito na letra A, então vamos considerar θ = 0

Para α 1 = 0 °

ε 1 = ε x ⋅ c o s 2 ( 0 ° ) + ε y ⋅ s e n 2 ( 0 ° ) + γ x y ⋅ sen ⁡ 0 ° ⋅ c o s ⁡ ( 0 ° )

+ 250 μ = ε x

Para α 2 = 180 ° - 60 ° = 120 °

ε 2 = ε x ⋅ c o s 2 ( 120 ° ) + ε y ⋅ s e n 2 ( 120 ° ) + γ x y ⋅ sen ⁡ 120 ° ⋅ c o s ⁡ ( 120 ° )

+ 683 μ = ε x ⋅ 0,25 + ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ ( - 0,433 )

Para α 3 = 60 °

ε 3 = ε x ⋅ c o s 2 ( 60 ° ) + ε y ⋅ s e n 2 ( 60 ° ) + γ x y ⋅ sen ⁡ 60 ° ⋅ c o s ⁡ ( 60 ° )

- 183 μ = ε x ⋅ 0,25 + ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ ( 0,433 )

Desta forma a gente obtém um sistema:

+ 250 μ = ε x

+ 683 μ = ε x ⋅ 0,25 + ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ ( - 0,433 )

- 183 μ = ε x ⋅ 0,25 + ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ ( 0,433 )

Passo 3

Para resolver este sistema primeiro a gente substitui ε x nas duas últimas equações:

+ 683 = ( 250 ) ⋅ 0,25 + ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ ( - 0,433 )

- 183 = ( 250 ) ⋅ 0,25 + ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ ( 0,433 )

Obtendo:

ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ - 0,433 = 620,5

ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ 0,433 = - 245,5

Agora a gente vai somar as duas equações:

ε y ⋅ 1,5 = 375

ε y = + 250 μ

Para achar γ vamos subtrair a segunda da primeira:

γ x y ⋅ 0 , 866 = - 866

γ x y = - 1000 μ

Portanto achamos:

ε x = + 250 μ

ε y = + 250 μ

γ x y = - 1000 μ

Passo 4

Vamos fazer então o ciclo de Mohr para deformações. Para isso a gente tem que lembrar como calcula a deformação específica normal média e o raio:

ε m é d = ε x + ε y 2

R = ε x - ε y 2 2 + γ x y 2 2

Perceba que é muito parecido com o ciclo de Mohr com as tensões mas aqui utilizamos:

  • ε que é a deformação específica normal.
  • γ que é a deformação angular.

utilizando os cálculos do passo 1:

ε m é d = ε x + ε y 2

ε m é d = 250 + 250   2 = 250   μ

E

R = 250 - 250   2 2 + 1000 2 2

R = 500 2

R = 500   μ

Agora podemos desenhar o ciclo de Mohr:

Passo 5

Para calcular a intensidade dessas deformações específicas normais principais temos que calcular ε m á x e ε m í n . Como já temos a média o o raio fica fácil:

ε m á x = ε m é d + R

ε m á x = 250 + 500 = 750   μ

ε m í n = 250 - 500 = - 250 μ

Passo 6

A máxima deformação específica de cisalhamento no plano γ m á x   ( n o   p l a n o ) é obtida, também, pelo ciclo de Mohr e é igual ao raio a duas vezes o raio:

1 2 γ m á x ( n o   p l a n o ) = R

γ m á x ( n o   p l a n o ) = 2 R

γ m á x n o   p l a n o = 2 ⋅ 500 = 1000 μ

Resposta

b)

ε m á x = 750   μ

ε m í n = - 250 μ

γ m á x n o   p l a n o = 1000 μ

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