Enunciado

Mostre que o momento angular por unidade de massa h de um satélite que descreve uma órbita elíptica de semieixo maior a e excentricidade ε , em torno de um planeta de massa M, pode ser expresso como

h = G M a ( 1 - ε 2 )

Passo 1

O enunciado pede que a gente mostre que o momento angular por unidade de massa h de um satélite que descreve uma órbita elíptica de semieixo maior a e excentricidade ε , em torno de um planeta de massa M, parece difícil mas vamos usar as equações prontinhas do livro , segura minha mao e vem :D

Pela Eq.(12.39’),

1 r = G M h 2 1 + ε   c o s θ

Em A, θ = 0 ° :

1 r A = G M h 2 1 + ε               o u             r A = h 2 G M 1 + ε

Em B, θ = 180 ° :

1 r B = G M h 2 1 - ε               o u             r B = h 2 G M 1 - ε

Passo 2

Adicionando,

r A + r B = h 2 G M = 1 1 + ε + 1 1 - ε = 2 h 2 G M 1 - ε ²

Mas para uma elipse,

r A + r B = 2 a

2 a = 2 h 2 G M 1 - ε ²

Resposta

h = G M a ( 1 - ε 2 )

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