Enunciado

Expresse a força F → como um vetor em termos dos vetores unitários i ^ , j ^ e k ^ . Determine os ângulos θ x , θ y e θ z que F → faz com os eixos positivos x , y e z .

Passo 1

Vamos começar escrevendo a força F → em forma vetorial. Começamos encontrando um vetor v → que liga os pontos A e B :

v → = A B → = - 25 - 15 i ^ + 50 - - 20 j ^ + 40 - - 25 k ^

v → = - 40   i ^ + 70   j ^ + 65   k ^

Queremos encontrar o vetor unitário na direção de v → , então precisamos calcular o seu módulo:

v → = 40 2 + 70 2 + 65 2

v → = 103,56   m m

Agora é só dividir v → pelo seu módulo para encontrar o vetor unitário v ^ :

v ^ = v → | v → | = - 40   i ^ + 70   j ^ + 65   k ^ 103,56

v ^ = - 0,386   i ^ + 0,676   j ^ + 0,628   k ^

Passo 2

Agora podemos escrever a força F em forma vetorial:

F → = F   v ^

F → = 750 - 0,386   i ^ + 0,676   j ^ + 0,628   k ^

F → = - 290   i ^ + 507   j ^ + 471   k ^

Passo 3

Agora vamos usar a seguinte fórmula para encontrar o ângulo que a força faz com cada eixo:

cos ⁡ ( θ i ) = F i F

(Se não quiser decorar, você pode demonstrar essa fórmula usando a definição de produto escalar!)

Aplicando essa fórmula em cada uma das componentes:

cos ⁡ θ x = F x F = - 290 750 = - 0,386

cos ⁡ ( θ y ) = F y F = 507 750 = 0,676

cos ⁡ θ z = F z F = 471 750 = 0,628

E agora é só calcular os cossenos usando a calculadora:

θ x = arccos ⁡ - 0,386 = 112,7 °

θ y = arccos ⁡ ( 0,676 ) = 47,5 °

θ z = arccos ⁡ ( 0,628 ) = 51,1 °

Resposta

A força resultante é F → = - 290   i ^ + 507   j ^ + 471   k ^ e os ângulos são θ x = 112,7 ° , θ y = 47,5 ° e θ z = 51,1 ° .

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