Enunciado

Expresse F → como um vetor em termos dos vetores unitários i ^ , j ^ e k ^ . Determine a projeção de F → , tanto como um escalar quanto como um vetor, sobre a linha O A , que está situada no plano x - y .

Passo 1

Começamos tentando escrever F → em termos dos vetores unitários. Podemos fazer isso procurando cada uma das componentes através dos ângulos que foram dados na figura do enunciado:

F z = 5 cos ⁡ 40 ° = 3,83   k N

Para projetar o vetor nos eixos y e x , precisamos seguir dos passos: primeiro projetá-lo no plano x y , e só então projetar em cada eixo:

F y = F sen ⁡ 40 ° cos ⁡ 35 ° = 2,63   k N

F x = F sen ⁡ 40 ° - sen ⁡ 35 ° = - 1,84   k N

E então o vetor fica da seguinte forma:

F → = F x   i ^ + F y   j ^ + F z   k ^

F → = - 1,84   i ^ + 2,63   j ^ + 3,83   k ^   k N

Passo 2

Agora vamos pensar na projeção de F → sobre a linha O A , para isso precisamos definir algum vetor na direção dessa linha.

O A → = cos ⁡ 30 °   i ^ + sen ⁡ 30 ° j ^

(Que já é um vetor unitário). Para encontrar a projeção de F → sobre O A → como um escalar precisamos usar o produto escalar:

F → ∙ O A → = - 1,84   i ^ + 2,63   j ^ + 3,83   k ^   ∙ cos ⁡ 30 °   i ^ + sen ⁡ 30 ° j ^

F → ∙ O A → = - 1,84 cos ⁡ 30 ° + ( 2,63 ) ( sen ⁡ 30 ° )

F → ∙ O A → = - 0,278   k N

Vamos chamar esse escalar de F O A , já que é a projeção da força F sobre a linha O A :

F O A = - 0,278   k N

Passo 3

Para encontrar a projeção de F → sobre O A → como vetor é só multiplicar o escalar F O A que acabamos de calcular pelo vetor unitário na direção de O A :

F → O A = F O A   O A ^

F → O A = - 0,278 cos ⁡ 30 °   i ^ + sen ⁡ 30 °   j ^

F → O A = - 0,241   i ^ - 0,139   j ^   k N

Resposta

F → = - 1,84   i ^ + 2,63   j ^ + 3,83   k ^   k N , e as projeções são F O A = - 0,278   k N e F → O A = - 0,241   i ^ - 0,139   j ^   k N .

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