Enunciado

A fenda do braço OA gira no sentido anti-horário em torno de O de tal maneira que quando θ = π / 4 , o braço OA está girando com uma velocidade angular de θ ˙ e uma aceleração angular de θ ¨ . Determine as intensidades da velocidade e aceleração do pino B neste instante. O movimento do pino B é restrito de tal maneira que ele se move sobre a superfície circular fixa e ao longo da fenda em OA.

Passo 1

Começaremos o exercício escrevendo a coordenada r e suas derivadas:

r = 2 a c o s θ

r ˙ = - 2 a s e n θ θ ˙

r ¨ = - 2 a c o s θ θ ˙ 2 + s e n θ θ ¨

Quando θ = π / 4 :

r θ = π / 4 = 2 a 2 2 = 2 a

r ˙ θ = π / 4 = - 2 a 2 2 θ ˙ = - 2 a θ ˙

r ¨ θ = π / 4 = - 2 a 2 2 θ ˙ 2 + 2 2 θ ¨ = - 2 a θ ˙ 2 + θ ¨

Passo 2

Agora podemos encontrar as expressões para as componentes da velocidade:

v r = r ˙ = - 2 a θ ˙

v θ = r θ ˙ = 2 a θ ˙

Sendo assim, o módulo da velocidade é dado por:

v = v r 2 + v θ 2 = - 2 a θ ˙ 2 + 2 a θ ˙ 2

v = 2 a θ ˙

Passo 3

Agora podemos calcular as componentes da aceleração:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = - 2 a θ ˙ 2 + θ ¨ - 2 a θ ˙ 2

a r = - 2 a 2 θ ˙ 2 + θ ¨

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 2 a θ ¨ + 2 - 2 a θ ˙ θ ˙

a θ = 2 a θ ¨ - 2 θ ˙ 2

Dessa forma, o módulo da aceleração é dado por:

a = a r 2 + a θ 2 = - 2 a 2 θ ˙ 2 + θ ¨ 2 + 2 a θ ¨ - 2 θ ˙ 2 2

a = 2 a 4 θ ˙ 4 + θ ¨ 2

Resposta

v = 2 a θ ˙

a = 2 a 4 θ ˙ 4 + θ ¨ 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A barra O A gira no sentido anti-horário com uma velocidade angular constante de θ ˙ = 6r a d / s . Através de meios mecânicos, o anel B move-se ao longo da barra com uma velocidade escalar de r ˙ = 4
Por um curto período de tempo, um avião a jato move-se ao longo de uma trajetória de uma lemniscata, r 2 = 2500 cos ⁡ 2 θk m 2 . No instante que θ = 30 ° , o equipamento rastreador de radar está giran
Um barco move-se ao longo de uma trajetória definida por r 2 = 0,9 10 3 cos ⁡ 2 θm 2 , onde θ é dado em radianos. Se θ = 0,4 t 2r a d , onde t é dado em segundos, determine as componentes radiais e tr
A barra O A gira no sentido anti-horário com uma velocidade angular de θ ˙ = ( 2 t 2 )r a d / s . Através de meios mecânicos, o anel B move-se ao longo da barra com uma velocidade escalar de r ˙ = 4 t
Uma partícula move-se ao longo de uma espiral de Arquimedes r = 8 θ m , onde θ é dado em radianos. Se θ ˙ = 4r a d / s (constante), determine as componentes radiais e transversais da velocidade e acel