Enunciado

24. As fibras da madeira da tábua formam um ângulo de 20 ° com a horizontal como mostra a figura. Determine a tensão normal e a tensão de cisalhamento que agem perpendicularmente às fibras, se a tábua é submetida a uma carga axial de 250   N .

Passo 1

E aí galerinha bonita, tudo bem? Aqui vamos nós de novo pra mais uma questãozinnha de ResMat.

Existem duas formas pra gente calcular as tensões perpendiculares às fibras, a mais tranquileba seria decompor a força P em Normal e Tangencial e calcular as tensões sobre uma área inclinada. Porém este capítulo tem exercícios referentes ao estado planos de tensões, então a gente vai ter que fazer nesse estilo, ok?

Vamos representar as tensões σ x ' e τ x ' y ' do plano inclinado:

A força de 250   N vai gerar uma tensão no eixo x , que chamamos de σ x , e essa tensão é perpendicular à seção transversal retangular da tábua.

Passo 2

Para que a gente possa relacionar as tensões no plano, com as tensões no plano inclinado, podemos usar as fórmulas abaixo:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ ⁡ +   τ x y cos ⁡ 2 θ

Pela figura do P a s s o   1 , podemos ver que θ é positivo (rotação em sentido anti-horário) e o seu valor vai ser igual ao complementar de 20 ° . Ou seja...

θ = 90 ° - 20 ° = 70 °

Agora, vamos à obtenção das tensões de estado plano!

Passo 3

A única tensão presente no nosso sistema, é aquela originada da força axial de 250   N , que é uma tensão normal agindo no eixo x . E já sabemos que ela é dada pela fórmula abaixo, né?

σ x = P A

Substituindo os valores numéricos, obtemos que...

σ x = 250   N ( 0,025   m ) ( 0,060   m )

σ x = 166,67   k P a

E então chegamos até a figura a seguir, que retrata o estado plano de tensão:

Onde:

σ x = 166,67   k P a

σ y = 0   k P a

τ x y = 0   k P a

Passo 4

E pra terminar, só resta a gente aplicar as fórmulas de transformações de tensão para os casos normal e cisalhantes. São elas:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ ⁡ +   τ x y cos ⁡ 2 θ

Onde substituindo os valores numéricos pertinentes a cada variável, dado o valor do ângulo θ = 70 ° ...

σ x ' = 166,67 2 + 166,67 2 cos ⁡ 140 °

τ x ' y ' = - 166,67 2 sen ⁡ 140 °

Encontramos nossos resultados, iguais à:

σ x ' = 19,5   k P a

τ x ' y ' = - 53,6   k P a

E tá prontinho!

Resposta

σ x ' = 19,5   k P a

τ x ' y ' = - 53,6   k P a

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Para o estado plano de deformação dado, use o método da seção 7.10 para determinar o estado plano de deformação associado aos eixos x ' e y ' que sofreram uma rotação do ângulo θ dado.
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Para o estado plano de deformação dado, use o círculo de Mohr para determinar o estado plano de deformação associado aos eixos x ' e y ' que sofreram uma rotação do ângulo θ dado.
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